MATLAB曲线拟合：多项式拟合，揭秘曲线背后的数学方程

# 1. MATLAB曲线拟合概述**

MATLAB曲线拟合是一种强大的工具，用于将一组数据点拟合到数学函数中。它在科学、工程和金融等广泛领域中应用广泛，用于分析和建模数据。MATLAB提供了一系列用于曲线拟合的函数，使研究人员和工程师能够轻松地拟合各种类型的函数，包括多项式、指数和正弦函数。

曲线拟合过程涉及找到一条最佳拟合曲线，该曲线通过数据点，并最小化曲线与数据点之间的误差。MATLAB使用最小二乘法原理来确定最佳拟合曲线，该原理通过最小化拟合曲线与数据点之间的平方误差来找到最佳拟合。

# 2. 多项式拟合理论

### 2.1 多项式函数简介

#### 2.1.1 多项式的定义和表示

多项式是一种数学表达式，由变量和系数的乘积组成。一般形式为：

P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxn

其中，a0、a1、...、an 为常数系数，x 为变量，n 为多项式的阶数。

#### 2.1.2 多项式函数的性质

多项式函数具有以下性质：

- 多项式函数是连续且可微的。
- 多项式函数的阶数等于其最高次幂的指数。
- 多项式函数的根是其使函数值为 0 的值。
- 多项式函数的图像是一条平滑的曲线。

### 2.2 最小二乘法原理

#### 2.2.1 最小二乘法的概念

最小二乘法是一种数学方法，用于寻找一条曲线，以最小的平方误差拟合一组数据点。平方误差定义为数据点与曲线之间的垂直距离的平方和。

#### 2.2.2 最小二乘法在曲线拟合中的应用

在曲线拟合中，最小二乘法用于寻找一条多项式函数，使该函数与给定数据点的平方误差最小。通过求解最小二乘法方程组，可以得到拟合多项式的系数。

**代码块：**

% 给定数据点
x = [0, 1, 2, 3, 4];
y = [1, 2, 5, 7, 11];

% 拟合三阶多项式
p = polyfit(x, y, 3);

% 计算拟合结果
y_fit = polyval(p, x);

% 计算平方误差
error = sum((y - y_fit).^2);

% 打印拟合结果和平方误差
disp("拟合多项式：");
disp(p);
disp("平方误差：");
disp(error);

**逻辑分析：**

该代码块使用 polyfit 函数拟合了一个三阶多项式，并计算了拟合结果和平方误差。

- `polyfit(x, y, 3)`：使用最小二乘法拟合一个三阶多项式，返回拟合多项式的系数。
- `polyval(p, x)`：使用拟合多项式的系数计算拟合结果。
- `sum((y - y_fit).^2)`：计算平方误差，即数据点与拟合曲线之间的垂直距离的平方和。

# 3. MATLAB多项式拟合实践

### 3.1 数据准备和拟合模型选择

#### 3.1.1 数据预处