用四次正交多项式最小二乘拟合下面的数据。matlab

实现四次正交多项式的最小二乘拟合
为了在 MATLAB 中实现四次正交多项式的最小二乘拟合，通常会采用 polyfit 函数来获取多项式的系数，并利用这些系数绘制拟合后的曲线。对于特定类型的正交多项式如勒让德多项式，则可以通过构建相应的基底并应用最小二乘法完成拟合。
构建勒让德多项式作为基底
考虑到勒让德多项式的性质[^1]，其可以在区间 ([-1, 1]) 上形成一组标准正交集。因此，在进行数据预处理时需确保输入变量被映射至该范围内：
% 将原始x范围缩放至[-1, 1]
xmin = min(x);
xmax = max(x);
x_scaled = (2 * x - xmax - xmin) / (xmax - xmin);
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接着定义前五个（含零阶）勒让德多项式表达式：
function P = legendreBasis(x)
% 计算0到4阶勒让德多项式的值
n = length(x);
P = zeros(n, 5);

for i=1:n
xi = x(i);

P(i, :) = [
1,
xi,
0.5*(3*xi^2-1),
0.5*(5*xi^3-3*xi),
1/8*(35*xi^4-30*xi^2+3)];
end
end
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应用最小二乘法求解参数向量
有了上述基础之后，就可以调用MATLAB自带的 \ 运算符解决线性方程组 (A\beta=y) 来估计模型参数β:
% 获取设计矩阵 A 和观测向量 y
A = legendreBasis(x_scaled);
y = y;

% 使用左除运算符执行最小二乘回归分析
b = A \ y;
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最后一步是重构预测响应以及可视化结果：
% 预测新样本点上的因变量取值
ypred = A*b;

% 绘制实际观察值 vs 模型预测值对比图
figure();
plot(x, y,'o', 'MarkerFaceColor','g');
hold on;
plot(x, ypred, '-r', 'LineWidth', 2);
legend('Data Points', 'Fitted Curve');
title('Legendre Polynomial Least Squares Fit of Degree Four');
xlabel('X Axis Label'); ylabel('Y Axis Label');
grid minor;
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此过程展示了如何使用MATLAB中的基本工具箱函数配合自编程序片段来进行高精度的数据拟合操作。值得注意的是，这里选择了勒让德多项式作为特征空间的基础，这有助于提高数值稳定性的同时也简化了后续计算流程。