一竖直向上发射的火箭,原来静止的时候处质量为m0,经过时间t燃料耗尽时末质量为m,喷气相对火箭的速率恒定为u,不计空气阻力,重力加速度为g,求燃料耗尽时火箭的速率
时间: 2023-03-25 22:02:44 浏览: 119
根据牛顿第二定律,火箭的推力等于火箭的质量乘以加速度,即F=ma。在燃料耗尽时,火箭的质量为m,推力为Fu,重力为mg,所以火箭的加速度为a=(Fu-mg)/m。根据匀加速直线运动的公式,火箭的速率v=u ln(m/m)+(Fu-mg)/u(1-e^(-ut/m)),其中ln表示自然对数,e表示自然常数。因为燃料耗尽时火箭的速率就是问题所求,所以可以直接代入公式计算。
相关问题
一个小型二级火箭初始重量为3000kg。一级总重1400kg其中1080kg燃料,二级1080 kg燃料。一级燃料用尽后一级整体抛弃,火箭引擎在二级燃料用尽时关闭。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s,由此产生32000N的推力。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方,比例系数为0.4kg/m,求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度﹑加速度,及火箭到达最高点时的高度和加速度,并画出高度﹑速度、加速度随时间变化的图形。数学建模的分析过程
1. 确定问题
本题是一个二阶微分方程的初值问题。具体而言,是一个质量随时间变化的火箭竖直向上运动的问题,考虑引擎开启和关闭时的不同状态,以及空气阻力对运动的影响。需要求解引擎关闭瞬间的高度、速度、加速度,以及火箭到达最高点时的高度和加速度,并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。
2. 建立模型
(1)确定变量
设时间为$t$,火箭总质量为$m$,高度为$h$,速度为$v$,加速度为$a$,燃料质量为$mf$。
(2)列出运动方程
在引擎开启时,火箭受到推力$F$的作用,同时受到空气阻力$k v^2$和重力$mg$的作用,所以有:
$$
m \frac{dv}{dt} = F - k v^2 - mg
$$
由于$m$和$F$都是随时间变化的,因此需要将它们表示为已知量和未知量的函数。考虑火箭在一级燃料用尽后,一级整体抛弃,二级引擎开启的情况。此时,火箭总质量为$m_1+m_2$,其中$m_1$为一级总重,$m_2$为二级总重减去燃料质量$mf_2$。此外,$F$为已知量,等于燃料燃烧率$\dot{m}$乘以推力系数$k$。因此,可以将$m$和$F$表示为:
$$
m = m_1 + m_2 - mf_1 - mf_2 \\
F = k \dot{m} t
$$
将它们代入运动方程中,得到:
$$
(m_1 + m_2 - mf_1 - mf_2) \frac{dv}{dt} = k \dot{m} t - k v^2 - (m_1 + m_2 - mf_1 - mf_2) g
$$
在二级燃料用尽时,火箭引擎关闭,$mf_2$不再变化,$a=0$。此时的状态即为引擎关闭瞬间的状态。因此,可以求解上述方程,得到引擎关闭瞬间的高度、速度、加速度。
在引擎关闭后,火箭只受到重力和空气阻力的作用,因此有:
$$
m \frac{dv}{dt} = -k v^2 - mg
$$
此时的运动方程是一个二阶非齐次线性微分方程,可以使用解析方法求解。求解后,即可得到火箭到达最高点时的高度和加速度。
3. 数值求解
考虑使用数值方法求解运动方程。具体而言,可以使用欧拉法或者龙格-库塔法等数值积分方法,对运动方程进行离散化求解。每一次时间步长内,需要计算当前时间步长内的燃料消耗、更新火箭总质量、计算当前加速度、计算当前速度和高度,并将结果存储在列表中。当二级燃料用尽时,即为引擎关闭瞬间的状态。此时,可以通过查找速度列表中的最大值,得到最大高度、最大速度和最大加速度。最后,可以使用matplotlib等工具,绘制出高度、速度和加速度随时间变化的图形。
4. 编写代码
根据上述分析,可以编写出求解该问题的代码。
小型火箭的初始重量为 1400Kg,其中包括 1080Kg 燃料.火箭竖直向上发射时燃料燃 烧率为 18Kg/s,由此产生 32000N 的推力.火箭引擎在燃烧用尽时关闭.设火箭上升时空气阻 力正比于速度的平方,比例系数为 0.4Kg/m,求引擎关闭瞬间火箭的高度,速度,加速度以及 火箭到达最高点时的高度和加速度,并画出高度,速度,加速度随时间变化的图形
解决这个问题需要使用牛顿第二定律 F=ma,其中 F 是火箭的推力减去空气阻力,m 是火箭的质量,a 是火箭的加速度。
在火箭的旅程中,有两种情况需要考虑:
1. 火箭燃料燃烧时,推力大于空气阻力。
2. 火箭燃料用尽后,只有空气阻力作用。
首先,我们可以计算火箭在燃料燃烧时的运动情况。设 t 为时间,h 为火箭的高度,v 为火箭的速度,m 为火箭的质量,其中 m = 1400 - 18t。
当火箭燃料燃烧时,火箭的推力为 32000N,空气阻力为 0.4v^2,因此牛顿第二定律可以表示为:
32000 - 0.4v^2 - 18m = m dv/dt
将 m 代入可得:
32000 - 0.4v^2 - 25200 + 18t = (1400 - 18t) dv/dt
化简可得:
dv/dt = (32000 - 0.4v^2 - 25200 + 18t) / (1400 - 18t)
这是一个一阶非齐次微分方程,可以使用Mathematica求解。以下是一个示例代码:
```
DSolve[{v'[t] == (32000 - 0.4 v[t]^2 - 25200 + 18 t)/(1400 - 18 t), v[0] == 0, h'[t] == v[t], h[0] == 0}, {v[t], h[t]}, t]
```
运行这个代码可以得到火箭在燃料燃烧时的速度和高度的解析表达式。其中,v[t] 表示时间 t 时的速度,h[t] 表示时间 t 时的高度。
接下来,我们需要计算火箭在燃料用尽后的运动情况。在这种情况下,火箭的推力为 0,空气阻力为 0.4v^2。牛顿第二定律可以表示为:
-0.4v^2 = (1400 - 18t) dv/dt
这也是一个一阶非齐次微分方程,可以使用Mathematica求解。以下是一个示例代码:
```
DSolve[{v'[t] == -0.4 v[t]^2/(1400 - 18 t), v[T] == vEnd, h'[t] == v[t], h[T] == hEnd}, {v[t], h[t]}, t]
```
其中,vEnd 和 hEnd 分别表示火箭在燃料用尽时的速度和高度。这两个值可以从火箭在燃料燃烧时的解析表达式中计算得到。
最后,我们可以使用Manipulate函数创建一个交互式界面,用来探索不同的初始条件对火箭运动的影响。以下是一个示例代码:
```
Manipulate[
Module[{sol1, sol2, T, vEnd, hEnd},
sol1 = DSolve[{v'[t] == (32000 - 0.4 v[t]^2 - 25200 + 18 t)/(1400 - 18 t), v[0] == 0, h'[t] == v[t], h[0] == 0}, {v[t], h[t]}, t];
vEnd = v[T] /. sol1[[1]] /. {T -> tEnd};
hEnd = h[T] /. sol1[[1]] /. {T -> tEnd};
sol2 = DSolve[{v'[t] == -0.4 v[t]^2/(1400 - 18 t), v[T] == vEnd, h'[t] == v[t], h[T] == hEnd}, {v[t], h[t]}, t];
{Plot[Evaluate[h[t] /. sol1], {t, 0, tEnd}, PlotRange -> All, PlotLabel -> "Height vs. Time", AxesLabel -> {"Time", "Height"}],
Plot[Evaluate[v[t] /. sol1], {t, 0, tEnd}, PlotRange -> All, PlotLabel -> "Velocity vs. Time", AxesLabel -> {"Time", "Velocity"}],
Plot[Evaluate[(32000 - 0.4 v[t]^2 - 25200 + 18 t)/(1400 - 18 t) /. sol1], {t, 0, tEnd}, PlotRange -> All, PlotLabel -> "Acceleration vs. Time", AxesLabel -> {"Time", "Acceleration"}]}
],
{{tEnd, 100}, 1, 200, 1, Appearance -> "Labeled"}
]
```
这个代码中,Manipulate函数包含一个滑块,用来控制模拟的时间长度。每次滑块的值改变时,Module函数会重新计算火箭的运动情况,并将结果绘制成三个图表,分别表示火箭的高度、速度和加速度随时间的变化。你可以通过拖动滑块来改变模拟的时间长度,观察火箭的运动情况。