elgamal公钥密码体制
时间: 2023-11-24 09:06:05 浏览: 73
ElGamal公钥密码体制是一种基于离散对数问题的加密算法,由Taher Elgamal于1985年提出。该算法是一种公钥密码体制,其中加密密钥和解密密钥是不同的。它的安全性基于离散对数问题的困难性,即在有限域中找到离散对数的计算复杂度很高。
ElGamal公钥密码体制包括三个主要的算法:密钥生成算法、加密算法和解密算法。首先,密钥生成算法生成一对公钥和私钥。公钥可以公开,而私钥必须保密。加密算法使用公钥加密明文,解密算法使用私钥解密密文。
具体地,密钥生成算法如下:
1. 选择一个大素数p和一个原根g,使得p和(p-1)/2两个数都是素数。
2. 随机选择一个私钥x,使得1<x<p-1。
3. 计算y=g^x mod p,y作为公钥,(p,g,x)作为私钥。
加密算法如下:
1. 将明文M转换成一个在1和p-1之间的整数。
2. 随机选择一个整数k,1<k<p-1,计算a=g^k mod p,b=my^k mod p,其中m是明文。
3. 密文为(a,b),发送给接收方。
解密算法如下:
1. 接收到密文(a,b)。
2. 计算a^x mod p,得到( a^x )^k mod p=a^xk mod p。
3. 计算b(a^x)^k mod p,得到b(a^x)^k mod p=(my^k)(a^xk) mod p=my^x mod p=m。
4. 解密出明文M,即为上一步得到的m。
ElGamal公钥密码体制的安全性基于离散对数问题的困难性,即在有限域中找到离散对数的计算复杂度很高。这使得该算法在实际应用中得到了广泛的应用。
相关问题
.3.在ElGamal公钥密码体制中,设素数p=71,a=7是Z的生成元,β=3是公开的加密密钥,(1)设随机整数k=2,试求明文m=30所对应的密文;
在ElGamal公钥密码体制中,设素数$p=71$,$a=7$是$\mathbb{Z}_p^*$的生成元,$\beta=3$是公开的加密密钥。
若要将明文$m=30$加密,则需要进行如下步骤:
1. 随机选择一个整数$k$,$k=2$。
2. 计算$C_1=a^k\mod p$,$C_2=m\cdot\beta^k\mod p$。
根据上述步骤,我们可以得到密文为$(C_1,C_2)=(7^2\mod 71,30\cdot 3^2\mod 71)=(49,45)$。
因此,明文$m=30$所对应的密文为$(49,45)$。
使用c++编写程序实现ElGamal公钥密码系统。
ElGamal公钥密码系统是一种基于离散对数问题的公钥密码体制,可以用于加密、解密和签名。下面是使用C++实现ElGamal公钥密码系统的代码:
```c++
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;
bool isPrime(int n) {
if (n <= 1) return false;
for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
if (n % i == 0) return false;
}
return true;
}
int power(int a, int b, int p) {
int res = 1;
a %= p;
while (b > 0) {
if (b & 1) res = (res * a) % p;
b >>= 1;
a = (a * a) % p;
}
return res;
}
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
int findPrimitiveRoot(int p) {
int phi = p - 1;
int n = phi;
int factors[100], idx = 0;
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
factors[idx++] = i;
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n > 1) factors[idx++] = n;
for (int res = 2; res <= p; res++) {
bool ok = true;
for (int i = 0; i < idx && ok; i++) {
ok &= power(res, phi / factors[i], p) != 1;
}
if (ok) return res;
}
return -1;
}
void generateKeyPair(int p, int g, int &a, int &A) {
a = rand() % (p - 1) + 1;
A = power(g, a, p);
}
void encrypt(int p, int g, int A, int B, int m, int &C1, int &C2) {
int k = rand() % (p - 2) + 1;
C1 = power(g, k, p);
C2 = (m * power(B, k, p)) % p;
}
void decrypt(int p, int a, int C1, int C2, int &m) {
int B = power(C1, a, p);
int invB = power(B, p - 2, p);
m = (C2 * invB) % p;
}
int main() {
int p, g, a, A, B, m, C1, C2;
cout << "Enter prime number p: ";
cin >> p;
if (!isPrime(p)) {
cout << "Error: p must be a prime number" << endl;
return 0;
}
g = findPrimitiveRoot(p);
generateKeyPair(p, g, a, A);
cout << "Public key: (" << p << ", " << g << ", " << A << ")" << endl;
cout << "Private key: " << a << endl;
cout << "Enter plaintext message m: ";
cin >> m;
encrypt(p, g, A, B, m, C1, C2);
cout << "Ciphertext: (" << C1 << ", " << C2 << ")" << endl;
decrypt(p, a, C1, C2, m);
cout << "Decrypted message: " << m << endl;
return 0;
}
```
该程序中,`isPrime`函数用于判断一个数是否为素数;`power`函数用于计算幂运算;`gcd`函数用于计算最大公约数;`findPrimitiveRoot`函数用于查找模p的原根;`generateKeyPair`函数用于生成公钥和私钥;`encrypt`函数用于加密;`decrypt`函数用于解密。
在程序中,首先输入一个素数p,然后生成公钥和私钥,接着输入明文消息m,使用公钥对m进行加密,然后使用私钥对密文进行解密,最后输出解密后的明文消息。
注意:ElGamal公钥密码系统中的素数p应该足够大,以保证安全性。