逻辑回归的极大似然估计

逻辑回归的极大似然估计是一种常用的参数估计方法，用于估计逻辑回归模型的参数。它基于最大化观测数据的似然函数来确定最优参数值。

在逻辑回归中，我们假设观测到的数据是由一个概率分布生成的，该概率分布由逻辑函数（也称为sigmoid函数）描述。逻辑函数将一个实数映射到[0,1]的区间上，表示事件发生的概率。

极大似然估计的基本思想是寻找一组参数值，使得给定观测数据下，该参数值下观测数据出现的概率最大。具体来说，在逻辑回归中，我们假设观测数据是独立同分布的，并且每个样本对应的输出服从一个二项分布。

假设我们有一个训练集，其中包含了n个样本，每个样本都有一个特征向量x和对应的二分类输出y。逻辑回归模型假设：

P(y=1|x) = f(x;θ) = σ(θ^T*x)
P(y=0|x) = 1 - P(y=1|x)

其中，f(x;θ)表示给定参数θ下，样本x属于类别1的概率，σ表示sigmoid函数。那么，对于一个样本来说，它属于类别1的概率可以表示为：

P(y|x;θ) = (f(x;θ))^y * (1-f(x;θ))^(1-y)

我们可以将所有样本的似然函数连乘起来，得到整个训练集的似然函数：

L(θ) = Π P(y_i|x_i;θ)

为了方便计算，通常会取对数似然函数：

l(θ) = log(L(θ)) = Σ (y_i * log(f(x_i;θ)) + (1-y_i) * log(1-f(x_i;θ)))

极大化对数似然函数等价于最小化负对数似然函数：

J(θ) = -l(θ) = -Σ (y_i * log(f(x_i;θ)) + (1-y_i) * log(1-f(x_i;θ)))

这就是逻辑回归模型的损失函数，我们可以通过优化算法（如梯度下降）最小化该损失函数，从而得到最优的参数估计值θ。