顾客按照速率为r的泊松过程到达一个银行，这个银行中有两个服务柜台。顾客到达后，他们取号排队。每当一个柜台服务完一个顾客后，排在队伍最前面的顾客就进入服务。1号柜台的服务时间服从参数为u1的指数分布，2号柜台的服务时间服从参数为u2的指数分布，并满足u1+u2>r。如果顾客到达时发现两个服务柜台都是空闲的，那么他们访问其中任何一个柜台的概率是相等的。请为该模型定义一个适当的连续时间马尔可夫过程，并求出极限概率。

我们可以定义一个连续时间马尔可夫过程 $X(t)$，其中 $X(t)=1$ 表示 1 号柜台正在服务，$X(t)=2$ 表示 2 号柜台正在服务，$X(t)=0$ 表示没有柜台正在服务。

状态转移方程为：

$$ X(t+dt)= \begin{cases} 1 & \text{if } X(t)=0, u_1dt<1 \\ 2 & \text{if } X(t)=0, 1 \le u_1dt<2 \\ 0 & \text{if } X(t)=1, u_1dt \ge 1 \\ 0 & \text{if } X(t)=2, u_2dt \ge 1 \end{cases} $$

其中 $dt$ 是时间间隔，当 $dt$ 足够小时，$u_1dt$ 和 $u_2dt$ 可以看做满足参数为 $u_1$ 和 $u_2$ 的指数分布的随机变量。

现在，我们考虑求出极限概率。设 $P_{i,j}(t)$ 表示时间 $t$ 时 $X(t)=i$ 的概率，则有：

$$ \begin{aligned} P_{1,0}(t+dt) &= P_{1,0}(t) + P_{0,0}(t) \cdot u_1dt \\ P_{2,0}(t+dt) &= P_{2,0}(t) + P_{0,0}(t) \cdot (1-u_1dt) \\ P_{0,0}(t+dt) &= P_{0,0}(t) + P_{1,0}(t) \cdot (1-u_1dt) + P_{2,0}(t) \cdot (1-u_2dt) \end{aligned} $$

当 $dt$ 足够小时，我们可以将它们写成微分方程的形式：

$$ \begin{aligned} \frac{dP_{1,0}}{dt} &= -u_1P_{1,0} + P_{0,0} \\ \frac{dP_{2,0}}{dt} &= -u_2P_{2,0} + P_{0,0} \\