采用压缩矩阵存储结构求d=a*b-c

压缩矩阵存储结构是一种将矩阵中的零元素省略掉，只存储非零元素及其位置的方法。对于矩阵乘法运算，可以采用压缩矩阵存储结构来提高计算效率。

假设矩阵a、b、c均为n阶矩阵，采用压缩矩阵存储结构后，可以将矩阵a、b、c分别表示为三元组(a1, a2, a3)、(b1, b2, b3)、(c1, c2, c3)，其中a1、b1、c1分别表示非零元素的值，a2、b2、c2分别表示非零元素所在的行号，a3、b3、c3分别表示非零元素所在的列号。

则矩阵乘法d=a*b-c的计算过程如下：

1. 对于矩阵b，将其转置得到b'，即将b中的行列互换，得到三元组(b1, b3, b2)。

2. 对于矩阵a和b'，按照矩阵乘法的定义，分别遍历它们的非零元素，找到对应的行和列，计算乘积并将结果累加到d的对应位置上。

具体地，对于a的第i行和b'的第j行，如果它们存在相同的列k，即a中第i行的第k个元素和b'中第j行的第k个元素都非零，则将它们相乘并累加到d的第i行第j列上。

3. 最后，再将矩阵c中的每个元素减去对应位置上d的元素，即可得到最终结果。

需要注意的是，在压缩矩阵存储结构中，由于省略了零元素，因此需要在计算过程中判断某个元素是否为零，以避免出现错误的计算结果。

相关问题

C语言数据结构稀疏矩阵的压缩存储及其(1) 稀疏矩阵的压缩存储:采用三元组表示,压缩存储稀疏矩阵 (2) 求两个具有相同行列数的稀疏矩阵A和B的相加矩阵C,并输出C。 (3) 求出A的转置矩阵D,输出D。 (4) 求两

个具有相同行列数的稀疏矩阵A和B的相乘矩阵C,并输出C。

对于问题1，稀疏矩阵的压缩存储采用三元组表示，即对于一个 m 行 n 列的稀疏矩阵，只需要记录下其中非零元素的行、列、值即可。这里我们可以定义一个结构体来表示三元组：

typedef struct {
    int row;    // 非零元素所在行
    int col;    // 非零元素所在列
    int val;    // 非零元素的值
} Triple;

对于一个稀疏矩阵，我们可以用一个 Triple 类型的数组来存储其中的所有非零元素。同时，我们还需要记录下稀疏矩阵的行数、列数和非零元素的个数，可以定义一个 SparseMatrix 类型来表示：

typedef struct {
    Triple data[MAXSIZE];   // 三元组数组
    int rows, cols, nums;   // 行数、列数、非零元素个数
} SparseMatrix;

对于问题2，我们需要先判断两个稀疏矩阵的行列数是否相同，若不同则无法相加。然后可以定义一个函数来实现稀疏矩阵的相加，具体实现可参考下面的代码：

void addSparseMatrix(SparseMatrix A, SparseMatrix B, SparseMatrix *C) {
    if (A.rows != B.rows || A.cols != B.cols) {
        printf("Error: rows and cols of A and B do not match!\n");
        return;
    }
    int i = 0, j = 0, k = 0;
    while (i < A.nums && j < B.nums) {
        if (A.data[i].row < B.data[j].row || (A.data[i].row == B.data[j].row && A.data[i].col < B.data[j].col)) {
            C->data[k++] = A.data[i++];
        } else if (A.data[i].row > B.data[j].row || (A.data[i].row == B.data[j].row && A.data[i].col > B.data[j].col)) {
            C->data[k++] = B.data[j++];
        } else {    // A.data[i].row == B.data[j].row && A.data[i].col == B.data[j].col
            int sum = A.data[i].val + B.data[j].val;
            if (sum != 0) {
                C->data[k].row = A.data[i].row;
                C->data[k].col = A.data[i].col;
                C->data[k].val = sum;
                k++;
            }
            i++;
            j++;
        }
    }
    while (i < A.nums) C->data[k++] = A.data[i++];
    while (j < B.nums) C->data[k++] = B.data[j++];
    C->rows = A.rows;
    C->cols = A.cols;
    C->nums = k;
}

对于问题3，稀疏矩阵的转置可以简单地理解为将原矩阵中的行列互换。因此，我们只需要将原矩阵中每个非零元素的行列交换即可。具体实现可参考下面的代码：

void transposeSparseMatrix(SparseMatrix A, SparseMatrix *D) {
    D->rows = A.cols;
    D->cols = A.rows;
    D->nums = A.nums;
    if (D->nums == 0) return;
    int k = 0;
    for (int col = 1; col <= A.cols; col++) {
        for (int i = 0; i < A.nums; i++) {
            if (A.data[i].col == col) {
                D->data[k].row = A.data[i].col;
                D->data[k].col = A.data[i].row;
                D->data[k].val = A.data[i].val;
                k++;
            }
        }
    }
}

对于问题4，稀疏矩阵的相乘可以参考矩阵乘法的思路，具体实现可参考下面的代码：

void multiplySparseMatrix(SparseMatrix A, SparseMatrix B, SparseMatrix *C) {
    if (A.cols != B.rows) {
        printf("Error: cols of A and rows of B do not match!\n");
        return;
    }
    SparseMatrix BT;
    transposeSparseMatrix(B, &BT);  // 先将 B 转置，方便后面的计算
    int *sums = (int*) calloc(BT.rows + 1, sizeof(int));   // 记录每行非零元素的个数
    for (int i = 0; i < BT.nums; i++) {
        sums[BT.data[i].row]++;
    }
    int *start = (int*) calloc(BT.rows + 1, sizeof(int));  // 记录每行第一个非零元素的位置
    for (int i = 1; i <= BT.rows; i++) {
        start[i] = start[i - 1] + sums[i - 1];
    }
    for (int i = 0; i < A.nums; i++) {
        int row = A.data[i].row;
        for (int j = start[row - 1]; j < start[row]; j++) {
            if (A.data[i].col == BT.data[j].row) {
                int sum = A.data[i].val * BT.data[j].val;
                int col = BT.data[j].col;
                C->data[C->nums].row = row;
                C->data[C->nums].col = col;
                C->data[C->nums].val += sum;
                C->nums++;
            }
        }
    }
    C->rows = A.rows;
    C->cols = B.cols;
    free(sums);
    free(start);
}

以上就是关于 C 语言数据结构稀疏矩阵的压缩存储及其相关操作的实现。

一、问题描述 A 和 B 为两个 N 阶对称矩阵,求两个对称矩阵之和与乘积 、基本要求 (1)输人:只输人对称矩阵下三角元素,存储在一维数组中 (2)输出:以阵列方式输出 (3)实现两个对称矩阵的和 (4)实现两个对称矩阵的乘积 、设计提示 1.数据结构设计 N 阶对称矩阵形式上是个二维数组,压缩存储时只存储其对角线及其上或其下的元素到大小为 2* N-1的一维数组。按题目要求,存储下三角元素。 2.功能设计 完成该实验至少涉及以下4个功能 (1) 创建矩阵 (2)输出矩阵(3)求对称矩阵A和B的和。 (4)求对称矩阵A和B的乘积。

以下是一个简单的 C++ 实现，实现了上述要求：

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 100;
int A[MAXN*(MAXN+1)/2], B[MAXN*(MAXN+1)/2], C[MAXN*(MAXN+1)/2], D[MAXN*(MAXN+1)/2];

// 创建对称矩阵
void createMatrix(int mat[], int n) {
    int idx = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            cin >> mat[idx++];
        }
    }
}

// 输出对称矩阵
void printMatrix(int mat[], int n) {
    int idx = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            cout << mat[idx++] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}

// 计算两个对称矩阵的和
void addMatrix(int A[], int B[], int C[], int n) {
    int idx = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            C[idx] = A[idx] + B[idx];
            idx++;
        }
    }
}

// 计算两个对称矩阵的乘积
void multiplyMatrix(int A[], int B[], int D[], int n) {
    int idx = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            int sum = 0;
            for (int k = 1; k <= i; k++) {
                if (k >= j) {
                    sum += A[idx-k+j-1] * B[(k-1)*k/2+i-1];
                } else {
                    sum += A[idx+j-k-1] * B[(j-1)*j/2+k-1];
                }
            }
            D[idx] = sum;
            idx++;
        }
    }
}

int main() {
    int n;
    cout << "请输入矩阵阶数：";
    cin >> n;

    cout << "请输入对称矩阵 A：";
    createMatrix(A, n);

    cout << "请输入对称矩阵 B：";
    createMatrix(B, n);

    cout << "对称矩阵 A：" << endl;
    printMatrix(A, n);

    cout << "对称矩阵 B：" << endl;
    printMatrix(B, n);

    addMatrix(A, B, C, n);
    cout << "对称矩阵 A+B：" << endl;
    printMatrix(C, n);

    multiplyMatrix(A, B, D, n);
    cout << "对称矩阵 A*B：" << endl;
    printMatrix(D, n);

    return 0;
}

该程序使用一维数组存储对称矩阵，根据输入的下三角元素计算出每个元素在数组中的下标。在计算两个对称矩阵的乘积时，使用了一个小技巧：先将下标转换成对应的行和列，然后按照矩阵乘法的定义计算。