c++ 高效的lu分解法求逆矩阵

在C++中，LU分解是一种常用的求解线性方程组的算法，尤其对于求逆矩阵非常高效，因为它可以将一个大的系数矩阵分解成两个较小的部分——L（下三角矩阵）和U（上三角矩阵）。这种分解对原矩阵A进行如下表示：

\[ A = LU \]

当我们需要求解矩阵A的逆矩阵 \( A^{-1} \) 时，如果直接计算会很耗时，因为A^(-1) = (LU)^(-1)，而通常不直接逆LU。而是利用LU分解的特点：

1. **高斯消元**：首先通过行变换将矩阵A转换成L和U，这个过程时间复杂度为O(n^3)。
2. **迭代求逆**：有了L和U，可以通过迭代的方式求出\( L^{-1} \)、\( U^{-1} \)以及\( L^{-1}U^{-1} \)，即\( A^{-1} \)。这一步的时间复杂度较低，约为O(n^2)。

在C++中，你可以使用数值计算库如Eigen或Armadillo等来实现LU分解和求逆操作，它们提供了高效的矩阵运算和LU分解函数。例如，Eigen库中有`Eigen::MatrixBase::ldlt()`函数用于获取LDLT分解。

#include <Eigen/Dense>
...
Eigen::MatrixXd A; // 定义你的矩阵
Eigen::LDLT<Eigen::MatrixXd> ldlt(A);
Eigen::MatrixXd invA = ldlt.lu().inverse();