lu分解法解线性方程组c++

LU分解法是一种求解线性方程组的方法，它将系数矩阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。然后，将方程组Ax=b转化为LUx=b，先解Ly=b，得到y，再解Ux=y，得到x，即可求解线性方程组。

具体步骤如下：

1. 将系数矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。

2. 将方程组Ax=b转化为LUx=b，即Ly=b和Ux=y。

3. 先解Ly=b，得到y，即前向代入。

4. 再解Ux=y，得到x，即后向代入。

下面是一个例子：

考虑线性方程组

$$
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 \\
-3 & 8 & 1 \\
2 & -6 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-3 \\
5 \\
-2
\end{bmatrix}
$$

我们可以将系数矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U：

$$
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 \\
-3 & 8 & 1 \\
2 & -6 & -1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-3 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
=LU
$$

然后，将方程组Ax=b转化为LUx=b，即Ly=b和Ux=y：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-3 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-3 \\
5 \\
-2
\end{bmatrix}
$$$$
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
y_3
\end{bmatrix}
$$

先解Ly=b，得到y，即前向代入：

$$
\begin{cases}
y_1=-3 \\
y_2=5+3y_1=8 \\
y_3=-2-2y_1-y_2=-5
\end{cases}
$$

再解Ux=y，得到x，即后向代入：

$$
\begin{cases}
x_3=\frac{y_3}{-1}=5 \\
x_2=\frac{y_2-x_3}{2}=\frac{8-5}{2}=\frac{3}{2} \\
x_1=\frac{y_1+2x_2}{1}=-\frac{1}{2}
\end{cases}
$$

因此，线性方程组的解为

$$
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2} \\
\frac{3}{2} \\
5
\end{bmatrix}
$$

这就是LU分解法的求解过程。