求解线性代数方程组的直接法C++

在C++中，求解线性代数方程组通常使用高斯-约旦消元法（Gaussian Elimination）或LU分解法等直接法。这些方法在处理小到中等规模的矩阵时效率较高，因为它们不需要迭代，而是通过一系列精确的计算步骤得到解。

以下是使用C++实现高斯-约旦消元法的一个简单示例：

#include <iostream>
#include <vector>

// 用于存储矩阵的结构体
struct Matrix {
    int rows, cols;
    std::vector<std::vector<double>> data;
};

// 高斯-约旦消元函数
std::vector<double> gauss_jordan(const Matrix& A, const std::vector<double>& b) {
    std::vector<double> x(A.cols);
    for (int i = 0; i < A.rows; ++i) {
        if (i == 0)
            continue;

        // 对当前行进行消元
        for (int j = i; j < A.cols; ++j) {
            double factor = A.data[i][j] / A.data[j];
            for (int k = 0; k <= A.rows; ++k)
                A.data[i][k] -= factor * A.data[k]; // 用主元替换元素
        }

        // 将当前行的解加到结果向量中
        for (int j = 0; j < A.cols; ++j)
            x[j] += A.data[i][j];
    }

    // 回带求解
    for (int i = A.rows - 1; i >= 0; --i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j)
            x[j] -= A.data[i][j] / A.data[i][i] * x[i];

        x[i] /= A.data[i][i]; // 消除分母为0的情况
    }

    return x;
}

int main() {
    Matrix A = {{2, 1, -1}, {1, 3, 2}, {4, -1, 3}};
    std::vector<double> b = {1, 2, 3};

    // 检查矩阵是否可逆
    if (A.data == 0) {
        std::cout << "矩阵不可逆!" << std::endl;
        return 1;
    }

    std::vector<double> solution = gauss_jordan(A, b);
    for (int i = 0; i < solution.size(); ++i)
        std::cout << "x_" << i << " = " << solution[i] << std::endl;

    return 0;
}