利用高斯法求解线性方程组C++

高斯消元法是求解线性方程组的常用方法，基本思想是通过初等变换将系数矩阵化为上三角矩阵，再通过回代求解出未知数的值。

以下是一个求解 n 元线性方程组 Ax = b 的 C++ 代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

const double eps = 1e-10;

vector<double> solve(vector<vector<double>> A, vector<double> b) {
    int n = A.size();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 将主元素归一
        double div = A[i][i];
        for (int j = i; j < n; j++) {
            A[i][j] /= div;
        }
        b[i] /= div;
        // 消元
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            double mul = A[j][i];
            for (int k = i; k < n; k++) {
                A[j][k] -= mul * A[i][k];
            }
            b[j] -= mul * b[i];
        }
    }
    // 回代求解
    vector<double> x(n);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        x[i] = b[i];
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            x[i] -= A[i][j] * x[j];
        }
    }
    return x;
}

int main() {
    int n;
    cout << "请输入方程组的元数：";
    cin >> n;
    cout << "请输入系数矩阵 A 和常数向量 b：" << endl;
    vector<vector<double>> A(n, vector<double>(n));
    vector<double> b(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> A[i][j];
        }
        cin >> b[i];
    }
    vector<double> x = solve(A, b);
    cout << "方程的解为：";
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (abs(x[i]) < eps) x[i] = 0.0;
        cout << x[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

该代码先通过高斯消元将系数矩阵 A 和常数向量 b 化为上三角矩阵，然后再通过回代求解出未知数的值。注意在回代过程中需要将解向量 x 的值从后往前计算。

需要注意的是，高斯消元法有一些特殊情况需要处理，如主元素为 0，系数矩阵不可逆等情况。此外，由于浮点数的舍入误差，当系数矩阵的某个元素非常小的时候，可能会导致精度问题。因此，一些实际应用中可能需要使用更加稳定的方法，如 LU 分解、Cholesky 分解等。