编写用动态规划解决数塔问题

数塔问题是一个经典的动态规划问题，它的描述如下：给定一个由n行数字组成的数塔，如下图所示，从顶部出发，在每个节点可以选择向左或向右走，依次走到底部，使得所经过的数字之和最大。每次只能走到下一行相邻的两个节点。

      5
     8 4
    3 6 9
   7 2 9 5
  2 8 4 1 7

使用动态规划思想，可以得到以下解题步骤：

1. 定义状态：设f[i][j]表示从第i行第j个数字开始走到最后一行所能得到的最大数字之和。

2. 状态转移方程：对于第i行第j个数字，其下一行相邻的数字为f[i+1][j]和f[i+1][j+1]，那么状态转移方程为f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + a[i][j]，其中a[i][j]表示第i行第j个数字的值。

3. 初始状态：对于最后一行的每个数字，其状态值为其自身的值，即f[n][j] = a[n][j]。

4. 求解目标：最终的目标是求解f[1][1]，即从顶部开始走到底部所能得到的最大数字之和。

根据上述步骤，可以使用以下的动态规划代码实现数塔问题的求解：

# 假设a为一个n行n列的二维数组，表示数塔的数字
def max_sum(a):
    n = len(a)
    f = [[0] * n for _ in range(n)]
    # 初始化最后一行状态值
    for j in range(n):
        f[n-1][j] = a[n-1][j]
    # 从倒数第二行开始逐行计算状态
    for i in range(n-2, -1, -1):
        for j in range(i+1):
            f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + a[i][j]
    # 返回顶部节点的状态值
    return f[0][0]

以上代码的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n^2)，可以通过数塔问题的所有测试用例。