利用定义证明交叉熵函数是凸函数

首先，我们来定义交叉熵函数。设$p$和$q$是定义在相同的离散或连续随机变量上的两个概率分布，则$p$和$q$的交叉熵函数为：

$$H(p,q)=-\sum_{x}p(x)\log q(x)$$

或者

$$H(p,q)=-\int_{-\infty}^{\infty}p(x)\log q(x)dx$$

现在我们证明交叉熵函数是凸函数。为了证明交叉熵函数是凸函数，我们需要证明对于所有的$p$和$q$，以及$0\leq\lambda\leq1$，都有：

$$H(p,\lambda q+(1-\lambda)r)\leq\lambda H(p,q)+(1-\lambda)H(p,r)$$

其中，$r$是另一个概率分布。

我们从定义出发，对$\lambda$进行展开：

$$\begin{aligned} H(p,\lambda q+(1-\lambda)r) &= -\sum_{x}p(x)\log [\lambda q(x)+(1-\lambda)r(x)] \\ &\leq -\sum_{x}p(x)[\lambda\log q(x)+(1-\lambda)\log r(x)] \\ &= \lambda H(p,q)+(1-\lambda)H(p,r) \end{aligned}$$

这里，我们使用了Jensen不等式，它告诉我们，对于凸函数$f$，有：

$$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$

因为负对数是凸函数，所以$-\log$也是凸函数。因此，交叉熵函数是凸函数。

相关问题

交叉熵函数作为损失函数是什么意思

交叉熵函数作为损失函数是指在训练神经网络时，使用交叉熵函数来衡量预测值与实际值之间的差距。在分类问题中，交叉熵函数可以用来衡量预测分类结果与实际分类结果之间的差距。交叉熵函数的值越小，表示预测结果与实际结果越接近。在神经网络的反向传播过程中，交叉熵函数可以通过链式法则来求取误差对每个参数的导数，从而更新网络参数，使得网络的预测结果更加准确。因此，交叉熵函数在神经网络中被广泛应用于分类问题的损失函数中。

pytorch中交叉熵函数的输入

PyTorch中的交叉熵函数`torch.nn.CrossEntropyLoss()`一般用于分类问题的损失函数计算。该函数的输入包括两个参数：模型预测值和真实标签。

具体来说，模型预测值通常是一个形状为(batch_size, num_classes)的矩阵，其中每一行表示一个样本对应各个类别的预测概率值。真实标签通常是一个形状为(batch_size,)的向量，其中每个元素表示一个样本的真实类别标签，取值范围是0到num_classes-1。

示例代码如下：

import torch.nn as nn

# 模型预测值，假设batch_size=3，num_classes=5
pred = torch.randn(3, 5)

# 真实标签，假设batch_size=3，num_classes=5
target = torch.tensor([2, 0, 4])

# 定义交叉熵损失函数
criterion = nn.CrossEntropyLoss()

# 计算损失
loss = criterion(pred, target)

在上述代码中，`pred`是模型预测值，`target`是真实标签，`nn.CrossEntropyLoss()`定义了交叉熵损失函数，`loss`是计算得到的损失值。