多元线性回归模型数学原理

多元线性回归模型是一种用于建立多个自变量与一个因变量之间关系的统计学模型。其数学原理基于最小二乘法，旨在寻找一条最优的直线（或者曲面）来描述这些自变量与因变量之间的关系。

在多元线性回归模型中，我们假设因变量 y 与自变量 x1,x2,...,xp之间存在线性关系，即：

y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp + ε

其中，β0, β1, β2, ..., βp 是回归系数，ε 是误差项，它表示了这个关系中未被自变量解释的部分。

我们可以将上述关系表示为矩阵形式：

y = Xβ + ε

其中，y 和 ε 是列向量，X 是数据集的设计矩阵，其中包含了自变量的值，β 是回归系数的列向量。

为了寻找最优的回归系数，我们需要最小化残差平方和：

RSS(β) = (∑(yi - xiTβ)2)

其中，RSS 表示残差平方和，yi 表示第 i 个样本的因变量，xiT 表示第 i 个样本的自变量，β 是回归系数的列向量。

通过对 RSS(β) 求导，令导数等于零，可以得到最优的 β 值：

β = (XTX)-1XTy

其中，(XTX)-1 是矩阵 XTX 的逆矩阵，XT 是矩阵 X 的转置矩阵，y 是因变量的列向量。

最终，我们可以得到最优的回归方程：

y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp + ε

其中，β0, β1, β2, ..., βp 是回归系数的值，它们描述了自变量与因变量之间的线性关系。