在ElGamal密码系统中，Alice和Bob使用大素数p=17和本原元g=3。Bob选用x=6作为他的私钥,则他的公钥y=15。Alice发送密文(7,6),请确定明文m。

在ElGamal密码系统中，Alice发送的密文为$(c_1,c_2)$，其中$c_1\equiv g^k\pmod{p}$，$c_2\equiv m\cdot y^k\pmod{p}$，$k$为Alice选取的随机数。

Bob可以使用他的私钥$x$来解密这个密文。首先，他计算$c_1^x\pmod{p}$，得到$(c_1^x\equiv (g^k)^x\equiv g^{kx}\pmod{p})$。然后，他将$(c_1^x)^{-1}\cdot c_2\pmod{p}$计算出来，即$(c_1^x)^{-1}\cdot c_2\equiv m\cdot y^k\cdot (g^{kx})^{-1}\pmod{p}$，$y$是Bob的公钥。

在这个例子中，Bob的私钥为$x=6$，所以他首先计算$(g^k)^x\equiv 3^6\equiv 12\pmod{17}$。然后，他计算$(12)^{-1}\cdot 6\equiv 2\cdot 6\equiv 12\pmod{17}$。因此，Alice发送的明文为$m=12$。

相关问题

在ElGamal密码系统中，Alice和Bob使用p=17和g=3。Bob选用x=6作为他的私钥,则他的公钥y=15。Alice发送密文(7,6),请确定明文m。

### 回答1：
在ElGamal密码系统中，Alice要发送的密文为$(a,b)$，其中：

$a\equiv g^k\pmod{p}$

$b\equiv m\cdot y^k\pmod{p}$

其中，$k$是Alice自己选择的随机数。因此，我们可以通过Bob的私钥和公钥来计算出$k$，然后就可以解密出明文$m$了。

根据公式，我们可以得到：

$k\equiv \log_3 7\pmod{17}$

$m\equiv b\cdot a^{-x}\pmod{p}$

首先，我们来计算$k$：

$3^4\equiv 1\pmod{17}$

$3^5\equiv 3\pmod{17}$

$3^6\equiv 9\pmod{17}$

$3^7\equiv 10\pmod{17}$

因此，$\log_3 7\equiv 7\pmod{16}$。因此，$k=7$。

接下来，我们来计算$m$：

$a\equiv g^k\equiv 3^7\equiv 11\pmod{17}$

$b\equiv m\cdot y^k\equiv 7\cdot 15^7\equiv 2\pmod{17}$

因此，$m\equiv b\cdot a^{-x}\equiv 2\cdot 11^{-6}\equiv 6\pmod{17}$。

因此，明文$m$为6。

### 回答2：
在ElGamal密码系统中，Alice和Bob使用p=17和g=3。Bob选用x=6作为他的私钥，则他的公钥y=15。Alice发送密文(7,6)，现在我们来确定明文m。

首先，我们知道Bob的私钥x=6，公钥y=15以及密文(7,6)。根据ElGamal密码系统的加密过程，密文的第一个部分是c1，第二个部分是c2。

根据密文中的c1=7，我们可以计算出c1的逆元c1_inv。由于p=17是一个质数，根据模逆的定义，c1_inv为c1的p-2次幂模p的结果。因此，c1_inv = 7^(17-2) mod 17 = 7^15 mod 17。

接下来，我们可以使用公式m = c2 * c1_inv mod p来计算明文m。根据密文中的c2=6，我们可以代入计算得到明文m = 6 * c1_inv mod 17。

将c1_inv的计算代入得到m = 6 * (7^15 mod 17) mod 17。计算(7^15 mod 17)时，我们可以利用指数运算的性质进行简化，并且由于p=17是一个小质数，这个计算是很容易的。

最终，我们计算得到明文m = 12 mod 17 = 12。因此，明文m的数值为12。

综上所述，在ElGamal密码系统中，当Alice发送密文(7,6)时，明文m的数值为12。

### 回答3：
在ElGamal密码系统中，Bob选用了私钥x=6，公钥y=15，并且设定了p=17和g=3。Alice发送了密文(7,6)给Bob。

根据ElGamal密码系统的加密过程，Alice发送的密文是通过以下公式计算得出的：
c1 ≡ g^k mod p
c2 ≡ (m * y^k) mod p

其中，c1和c2分别表示密文的两个部分，k是临时生成的随机数。

已知密文(7,6)，我们可以计算出k的值：
7 ≡ 3^k mod 17

通过试验，我们可以得知k=5满足这个条件。

接下来，我们可以利用已知的密文和k的值来计算出明文m：
c2 ≡ (m * y^k) mod p
6 ≡ (m * 15^5) mod 17

我们可以通过反向计算得到明文m的值。将等式两边都乘以y的逆元y^-1，得到：
6 * y^-5 ≡ m mod 17

现在，我们需要计算出y的逆元y^-1：
y^-1 ≡ y^(p-1-x) mod p
≡ 15^(17-1-6) mod 17
≡ 15^10 mod 17
≡ 4 mod 17

将y的逆元代入反向计算等式中，我们可以得到：
6 * 4 ≡ m mod 17

最后，计算出明文m的值：
m ≡ 6 * 4 mod 17
≡ 24 mod 17
≡ 7

因此，明文m的值为7。