在ElGamal密码系统中,Alice和Bob使用大素数p=17和本原元g=3。Bob选用x=6作为他的私钥,则他的公钥y=15。Alice发送密文(7,6),请确定明文m。
时间: 2023-06-15 09:06:19 浏览: 579
在ElGamal密码系统中,Alice发送的密文为$(c_1,c_2)$,其中$c_1\equiv g^k\pmod{p}$,$c_2\equiv m\cdot y^k\pmod{p}$,$k$为Alice选取的随机数。
Bob可以使用他的私钥$x$来解密这个密文。首先,他计算$c_1^x\pmod{p}$,得到$(c_1^x\equiv (g^k)^x\equiv g^{kx}\pmod{p})$。然后,他将$(c_1^x)^{-1}\cdot c_2\pmod{p}$计算出来,即$(c_1^x)^{-1}\cdot c_2\equiv m\cdot y^k\cdot (g^{kx})^{-1}\pmod{p}$,$y$是Bob的公钥。
在这个例子中,Bob的私钥为$x=6$,所以他首先计算$(g^k)^x\equiv 3^6\equiv 12\pmod{17}$。然后,他计算$(12)^{-1}\cdot 6\equiv 2\cdot 6\equiv 12\pmod{17}$。因此,Alice发送的明文为$m=12$。
相关问题
在ElGamal密码系统中,Alice和Bob使用p=17和g=3。Bob选用x=6作为他的私钥,则他的公钥y=15。Alice发送密文(7,6),请确定明文m。
### 回答1:
在ElGamal密码系统中,Alice发送的密文为$(a,b)$,其中$a\equiv g^k\pmod{p}$,$b\equiv m\times y^k\pmod{p}$,其中$k$是Alice选择的一次性密钥。
Bob的私钥为$x=6$,因此他可以计算出$y\equiv g^x\pmod{p}$,即$y\equiv 3^6\equiv 15\pmod{17}$。
密文为$(7,6)$,因此$a\equiv 7\pmod{17}$,$b\equiv 6\pmod{17}$。
我们可以利用Bob的私钥来计算出$k$,即$k\equiv \log_{g}a^x\pmod{p}$。
计算得到$k\equiv \log_{3}7^6\equiv 10\pmod{17}$。
因此,$m\equiv b\times a^{-xk}\pmod{p}$,即$m\equiv 6\times 7^{-6\times 6}\pmod{17}$。
利用快速幂算法可以计算出$7^{-36}\equiv 3\pmod{17}$,因此$m\equiv 6\times 3\equiv 10\pmod{17}$。
因此,明文$m$为10。
### 回答2:
在ElGamal密码系统中,Alice和Bob共享两个公共的参数p和g,Alice拥有自己的私钥x和公钥y,Bob也有自己的私钥x和公钥y。
根据题目给出的信息,Bob的私钥x=6,公钥y=15。Alice发送密文(7,6),我们需要利用Bob的私钥计算出明文。
首先,根据ElGamal密码系统的加密算法,密文(c1,c2)的计算过程如下:
1. 选取一个随机数k。
2. 计算c1=g^k mod p。
3. 计算c2=m×y^k mod p,其中m为明文。
根据已知信息cipher=(7,6),我们可以得到:c1=7,c2=6。
接下来,根据Bob的私钥和密文中的值计算明文m。
根据ElGamal密码系统的解密算法,明文m的计算过程如下:
1. 计算c1^x mod p,得到c1的x次方对p取模的结果。
2. 计算(c1^x)^-1 mod p,得到c1的x次方的逆对p取模的结果。
3. 计算(c1^x)^-1 × c2 mod p,得到明文m。
代入已知信息进行计算:
1. c1^x mod p = 7^6 mod 17 = 8 (mod 17)。
2. (c1^x)^-1 mod p = 8^-1 mod 17 = 15 (mod 17)。其中^-1表示求逆元。
3. (c1^x)^-1 × c2 mod p = 15 × 6 mod 17 = 90 (mod 17) = 4。
因此,明文m为4。
最终答案为明文m=4。
### 回答3:
在ElGamal密码系统中,Alice和Bob之间通过Bob的公钥y=15来进行加密和解密通信。
已知Bob的私钥x=6,公钥y=15,Alice发送的密文是(7,6)。
根据ElGamal密码系统的加密过程,Alice使用Bob的公钥进行加密,首先选择一个随机数k,这里假设k=7。然后计算C1和C2:
C1 = g^k mod p = 3^7 mod 17 = 9 (mod 17)
C2 = (m * y^k) mod p = (m * 15^7) mod 17 = 6 (mod 17)
由已知的密文(7,6),我们希望找到对应的明文m。
根据解密过程,Bob需要使用自己的私钥x=6来解密。首先计算k的模反元素k_inv:
k_inv = k^(-1) mod (p-1) = 7^(-1) mod 16 = 15 (mod 16)
然后计算明文m:
m = (C2 * (C1^(-x))) mod p = (6 * (9^(-6))) mod 17
由于C1=9,将其代入上式继续计算:
m = (6 * (9^(-6))) mod 17 = (6 * 13) mod 17 = 12 (mod 17)
因此,明文m的值为12。
总结:根据已知的密文(7,6)和Bob的私钥x=6,我们通过ElGamal密码系统的解密过程计算出明文m的值为12。
用c语言实现elgamal签名,设p=11,g=2,x=8,实现:alice对消息m=5的签名,bob对以上签名进行验证
以下是使用C语言实现ElGamal签名的示例代码:
```c
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
// 模重复平方算法
int mod_pow(int base, int exponent, int mod) {
int res = 1;
while (exponent > 0) {
if (exponent % 2 == 1) {
res = (res * base) % mod;
}
base = (base * base) % mod;
exponent /= 2;
}
return res;
}
// 求解逆元
int mod_inv(int a, int mod) {
int b = mod, x = 0, y = 1;
while (a > 0) {
int q = b / a;
int t = a; a = b % a; b = t;
t = x; x = y - q * x; y = t;
}
if (b == 1) {
return (y + mod) % mod;
} else {
return -1; // 不存在逆元
}
}
// ElGamal签名
void elgamal_sign(int p, int g, int x, int m, int *r, int *s) {
int k = rand() % (p - 2) + 1; // 随机选择k
*r = mod_pow(g, k, p);
int k_inv = mod_inv(k, p - 1);
*s = ((m - x * (*r)) * k_inv) % (p - 1);
}
// ElGamal验证
int elgamal_verify(int p, int g, int y, int m, int r, int s) {
int v1 = mod_pow(y, r, p) * mod_pow(r, s, p) % p;
int v2 = mod_pow(g, m, p);
return v1 == v2;
}
int main() {
srand(time(NULL)); // 初始化随机数种子
int p = 11, g = 2, x = 8, m = 5;
int y = mod_pow(g, x, p); // 计算公钥y
// Alice对消息m进行签名
int r, s;
elgamal_sign(p, g, x, m, &r, &s);
printf("Alice's signature: (%d, %d)\n", r, s);
// Bob验证Alice的签名
int is_valid = elgamal_verify(p, g, y, m, r, s);
if (is_valid) {
printf("Bob verifies Alice's signature successfully!\n");
} else {
printf("Bob fails to verify Alice's signature!\n");
}
return 0;
}
```
上述代码中,`mod_pow`函数实现了模重复平方算法,`mod_inv`函数实现了求解逆元的扩展欧几里得算法。`elgamal_sign`函数用于进行ElGamal签名,其中随机选择了一个私钥`k`,并计算出签名中的`r`和`s`。`elgamal_verify`函数用于验证签名的正确性。
在主函数中,首先计算出公钥`y`,然后Alice对消息`m`进行签名,Bob通过公钥`y`和签名中的`r`和`s`来验证签名的正确性。