公钥密码基础：模逆与模幂算法在RSA、ElGamal中的应用

该实验是关于密码学中的模逆运算和模幂运算，旨在让学生掌握这两种基础算法，并能应用于RSA和ElGamal等公钥密码系统。实验要求编写相关程序，包括素数检测、RSA和ElGamal密钥对生成、加密及签名，并设计用户友好的界面。 模逆运算在密码学中扮演着重要角色，特别是在模算术环境下解决除法问题。模逆数a-1是使得a * a-1 ≡ 1 (mod n) 成立的数，这对于RSA算法中的解密过程至关重要。在实验中，需要编写程序计算不超过216的两个正整数a和n的模逆。 模幂运算则涉及指数运算在模n下的计算，如ae(modn)，在公钥密码系统中常用于加密和签名。实验提供了两种模幂运算的方法，一种是从左向右，另一种是从右向左，它们都是基于快速幂算法优化，大大减少了计算时间。 实验还涵盖了Miller-Rabin素性检验，这是一种概率性的素数测试方法，对于大整数的素性判断非常有效。在RSA中，选择合适的素数p和q是安全性的基础，因此素性检验是必不可少的步骤。 RSA算法基于欧拉函数Φ(n)和费马小定理，生成公钥和私钥对，其中公钥为(e,n)，私钥为(d,n)，e和d满足ed ≡ 1 (mod Φ(n))。实验要求实现RSA的密钥生成、加密和解密过程，这涉及到模幂运算的应用。 ElGamal密码系统同样依赖于模幂运算，但其加密和签名机制与RSA略有不同，它基于离散对数问题的困难性。实验要求实现ElGamal的密钥生成、加密和解密，这有助于加深对公钥密码体制实际应用的理解。 通过这个实验，学生不仅能学习到基本的算法，还能实践将这些算法应用于实际的密码系统，从而获得对公钥密码体制工作原理的直观认识。设计一个集成所有功能的用户界面，不仅锻炼了编程能力，也提高了密码学应用的可操作性和用户体验。