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【向量复习】 向量是数学中的一个重要概念,它在物理学、工程学、计算机科学等多个领域都有广泛应用。向量不仅包含大小(模),还包含了方向。以下是对向量相关知识点的详细阐述: 1. **点分有向线段**: - 当点P内分线段AB时,点P所成的比指的是线段AP与PB的长度之比,可以用λ表示:λ = BP/AP。 - 当点P外分线段AB时,点P所成的比可以用μ表示:μ = AP/BP。 2. **定比分点坐标公式**: - 设P(x, y)是线段AB上的一点,A(x1, y1),B(x2, y2),则P的坐标可以通过以下公式得出:x = λx1 + (1-λ)x2,y = λy1 + (1-λ)y2,其中λ表示点P在AB上的位置比例。 3. **中点坐标公式**: - 线段AB的中点M的坐标M(x, y)可以用A(x1, y1),B(x2, y2)的坐标表示为:x = (x1 + x2)/2,y = (y1 + y2)/2。 4. **三角形重心坐标公式**: - 三角形ABC的重心G的坐标G(x, y)可以由顶点A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3)的坐标通过以下公式计算:x = (x1 + x2 + x3)/3,y = (y1 + y2 + y3)/3。 5. **图形平移**: - 向量平移是指将图形上的每个点按照指定的向量(h, k)移动,平移公式为:新点坐标 = 原点坐标 + 平移向量,即(x', y') = (x + h, y + k)。 **选择题解析**: 1. 正确答案:D。如果(-v)²=0,意味着向量v的模为0,即v=0。 2. 正确答案:A。根据向量的数量积性质,若v·(u+w)=0,那么v·u+v·w=0。因为u·v=0,所以v·w=0,而u和v已知垂直,所以w也垂直于v,故三角形ABC是直角三角形。 3. 正确答案:C。若v·w=0,可能的情况是v=0,w=0,或者它们之间的夹角为90度,至少满足其中之一。 4. 正确答案:B。因为v+2与2-v平行,所以存在实数λ使得v+2 = λ(2-v),解得x=1。 5. 正确答案:C。点A关于点B的对称点的坐标可以通过A的坐标减去2倍B的坐标来获得。 6. 正确答案:C。与向量(-4, 3)垂直的单位向量,其斜率应为-3/4,因此可能的解是(-3/4, 1)或(3/4, -1)。 7. 正确答案:A。根据比例关系,有1/λ = (4-1)/(5-2),解得λ=1。 8. 正确答案:C。由条件可知||AC|| = 2||BC||,列出方程组解得x和y的值。 9. 正确答案:B。AC中点在x轴上,BC中点在y轴上,可以列出方程求解C点坐标。 10. 正确答案:A。点P在线段AB上,所以向量AP = t向量AB,而向量OP = 向量OA + AP,利用向量的点乘性质求最大值。 **填空题解析**: 11. 已知条件可得向量在上的投影等于其模,所以· = || * ||。 12. 直线AB的斜率为(k2 - k1) / (x2 - x1),点P的坐标可以通过求解直线方程得出,使得||P|| = ||B||。 13. 三点共线意味着向量相等,通过比较对应坐标的系数,可以求出未知向量的坐标。 14. 利用三点共线的条件,可以列出方程组求解C点的坐标和线段的比。 15. 三角形的重心坐标可以通过各顶点的坐标平均得出。 16. 由于AC、BC的中点都在坐标轴上,可以设定C点坐标,然后列出方程求解。 17. 和18. 题目未提供完整,无法给出答案。 这些向量的基本知识包括了点分线段的比、定比分点坐标、中点坐标、三角形重心坐标、图形平移以及向量的性质(如平行、垂直、数量积)。这些是向量运算的基础,对于理解和解决涉及向量的问题至关重要。在高中和大学的数学学习中,向量是解决几何问题、物理问题以及进一步深入到线性代数等领域的重要工具。