3-17 转动惯量为0.2的砂轮,在外力距 M=0.2(0-1)(SI)的作用下做定轴转动,式中θ为砂轮转过的角度.已知 t=0时砂轮转过2rad,转动的角速度为1,试求2s时砂轮的动能、动量矩及前两秒内外力矩对砂轮所做的功及冲量矩.

根据题意可知：

砂轮的转动惯量 $I = 0.2 kg\cdot m^2$

外力距 $M = 0.2 N\cdot m$

$t=0$ 时，砂轮已经转过的角度 $\theta_0 = 2rad$

砂轮的转动角速度 $\omega_0 = 1rad/s$

需要求解的物理量：

2秒时的动能 $E_{k2}$

2秒时的动量矩 $L_2$

前两秒内外力矩对砂轮所做的功 $W_{M1}$ 和冲量矩 $I_{M1}$

首先，我们可以根据角动量守恒定律来求解砂轮在 2 秒时的角速度：

$$
I\omega_0 = I\omega_2 + M(t_2-t_0)
$$

将已知量代入上式，并解出 $\omega_2$：

$$
\begin{aligned}
0.2\times 1 &= 0.2\times \omega_2 + 0.2\times 2\\
\omega_2 &= 0.6 \text{rad/s}
\end{aligned}
$$

然后，我们可以根据角动能定理来求解砂轮在 2 秒时的动能：

$$
E_{k2}=\frac{1}{2}I\omega_2^2
$$

将已知量代入上式，并解出 $E_{k2}$：

$$
\begin{aligned}
E_{k2} &= \frac{1}{2}\times 0.2 \times 0.6^2\\
&= 0.036 \text{J}
\end{aligned}
$$

接着，我们可以根据角动量定理来求解砂轮在 2 秒时的动量矩：

$$
L_2 = I\omega_2
$$

将已知量代入上式，并解出 $L_2$：

$$
\begin{aligned}
L_2 &= 0.2\times 0.6\\
&= 0.12 \text{N·m·s}
\end{aligned}
$$

最后，我们可以根据功和冲量的定义，来求解前两秒内外力矩对砂轮所做的功和冲量矩：

$$
W_{M1} = \int_0^2 M\text{d}\theta = M\theta_0 = 0.4 \text{J}
$$

$$
I_{M1} = \int_0^2 M\text{d}t = M(t_2-t_0) = 0.4 \text{N·m·s}
$$

因此，在外力距 $M=0.2N\cdot m$ 的作用下，2秒时砂轮的动能为 $0.036J$，动量矩为 $0.12N·m·s$，前两秒内外力矩对砂轮所做的功为 $0.4J$，冲量矩为 $0.4N·m·s$。