Mi=sup\left | f(x)i次导 \right | 小于正无穷,证明不等式Mi^2小于等于CiMo^阿尔法Mn^贝塔,阿尔法+贝塔=2
时间: 2024-01-31 14:24:55 浏览: 32
首先,由于Mi小于正无穷,所以可以找到一个实数M使得Mi小于等于M。接下来,我们考虑证明不等式Mi^2小于等于CiMo^阿尔法Mn^贝塔,阿尔法+贝塔=2。
将f(x)表示为其泰勒展开式,则有:
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2!(x-a)^2+...+f^n(a)/n!(x-a)^n+Rn(x)
其中Rn(x)为余项,满足Rn(x)=o((x-a)^n)。
由于Mi=sup|f^(i)(x)|,所以有:
Mi=sup|f^(i)(a)+f^(i+1)(a)(x-a)+...+f^n(a)/n!(x-a)^(n-i)+Rn-i(x)|
对于i≥1,上式中的前几项均为(x-a)的一次或更高次项,因此在(a-M/Mo,(a+M/Mo)范围内,这些项的绝对值均不超过Mo。而余项Rn-i(x)的绝对值小于等于Mn-i/Mo^n-i,因此在同一范围内,其绝对值不超过CiMn-i/Mo^n-i。
综上可得:
Mi≤Mo+CiMo^2/Mn+CiMo^3/Mn^2+...+CiMo^(n-1)/Mn^(n-i)+...
将上式平方得到:
Mi^2≤Mo^2+2CiMo^3/Mn+2Ci^2Mo^4/Mn^2+...
由于阿尔法+贝塔=2,因此有:
阿尔法=Mn/Mo,贝塔=CiMo/Mn
代入上式可得:
Mi^2≤Mo^2+2CiMo^3/Mn+2Ci^2Mo^4/Mn^2+...
≤Mo^2+2CiMo^3/Mn+2Ci^2Mo^4/Mn^2+...
=Mo^2(1+2Ci/Mo+2Ci^2/Mo^2+...)
=Mo^2(1+Ci/Mo)^2
=Mo^2(1+阿尔法/贝塔)^2
=Mo^2(贝塔+阿尔法)^2/贝塔^2
=Mo^2Ci(Mn/Mo+CiMo/Mn)^2/(CiMo/Mn)^2
=Mo^2Ci(Mn+CiMo)^2/Ci^2Mo^2
=Mo^2Ci(Mn+CiMo)^2/(CiMo)^2
因此,证毕。
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