己知当输入f(t)=e^-tf(t)时，某LTI因果系统的零状态响应,y ,(t)=(3e'-4e2+e3')e(t) 描述该系统的微分方程是

根据题目描述，该LTI因果系统的输入输出关系可以表示为：

y(t) = H[f(t)]

其中，H是系统的传递函数，f(t)是输入信号，y(t)是输出信号。

由于题目中已知输入信号f(t)和零状态响应y(t)，可以通过零输入响应和零状态响应之和的方式计算出系统的传递函数H(s)。

设零输入响应为y_i(t)，则有：

y_i(t) = H[s] * [e^(-t) * u(t)]

其中，u(t)为单位阶跃函数，*表示卷积运算。

设零状态响应为y_p(t)，则有：

y_p(t) = (3e^(-t) - 4e^(-2t) + e^(-3t)) * u(t)

因此，系统的总响应可以表示为：

y(t) = y_i(t) + y_p(t)

带入已知条件，得到：

(3e^(-t) - 4e^(-2t) + e^(-3t)) * u(t) = H[s] * [e^(-t) * u(t)]

两边同时对s进行拉普拉斯变换，得到：

H(s) = (3/(s+1)) - (4/(s+2)) + (1/(s+3))

因此，系统的微分方程为：

y'''(t) + 5y''(t) + 10y'(t) + 6y(t) = f(t)

其中，f(t)为系统的输入信号。