MATLAB传递函数设计：从需求到实现，构建高效系统模型

# 1. 传递函数设计基础**

传递函数是一种数学模型，用于描述线性时不变 (LTI) 系统的输入和输出之间的关系。它在控制系统设计中广泛应用，可以对系统的稳定性、时域和频域特性进行分析和设计。

传递函数的定义为输出信号与输入信号的拉普拉斯变换之比，即：

G(s) = Y(s) / X(s)

其中，G(s) 为传递函数，Y(s) 为输出信号的拉普拉斯变换，X(s) 为输入信号的拉普拉斯变换。

# 2. 传递函数设计理论

### 2.1 传递函数的定义和特性

传递函数是描述线性时不变 (LTI) 系统在时域和频域特性的一种数学工具。它表示系统输入和输出之间的关系，通常用以下形式表示：

G(s) = Y(s) / X(s)

其中：

* G(s) 是传递函数
* Y(s) 是系统的输出拉普拉斯变换
* X(s) 是系统的输入拉普拉斯变换
* s 是复频率变量

传递函数具有以下特性：

* **线性：**系统对输入的叠加响应等于对每个输入的单独响应的叠加。
* **时不变：**系统的响应不会随着时间的推移而改变。
* **因果：**系统的输出只取决于当前和过去的输入，而不取决于未来的输入。

### 2.2 传递函数的稳定性分析

传递函数的稳定性是控制系统设计中的一个关键因素。不稳定的系统会导致不希望的振荡或发散，因此至关重要的是确保系统的稳定性。

#### 2.2.1 奈奎斯特稳定性判据

奈奎斯特稳定性判据是一种图形化方法，用于确定传递函数的稳定性。该判据基于以下原理：

* 如果传递函数的奈奎斯特图不包围原点，则系统稳定。
* 如果传递函数的奈奎斯特图包围原点 N 次，则系统不稳定，其极点在右半复平面上有 N 个。

奈奎斯特稳定性判据的步骤如下：

1. 绘制传递函数的奈奎斯特图。
2. 检查奈奎斯特图是否包围原点。
3. 根据包围次数确定系统的稳定性。

#### 2.2.2 波德图法

波德图法是另一种用于分析传递函数稳定性的图形化方法。该方法基于以下原理：

* 系统的增益裕度 (GM) 是系统在单位反馈下的增益，当相位裕度 (PM) 为 0 时。
* 系统的相位裕度 (PM) 是系统在单位反馈下的相位，当增益裕度为 0 时。

波德图法的步骤如下：

1. 绘制传递函数的波德图。
2. 确定增益裕度 (GM) 和相位裕度 (PM)。
3. 根据 GM 和 PM 的值确定系统的稳定性。

### 2.3 传递函数的时域和频域分析

传递函数可以用于分析系统的时域和频域特性。

#### 2.3.1 单位阶跃响应

单位阶跃响应是系统对单位阶跃输入的响应。它可以用于确定系统的上升时间、稳定时间和超调量。

#### 2.3.2 频率响应

频率响应是系统对正弦输入的响应。它可以用于确定系统的带宽、共振频率和阻尼比。

# 3. 传递函数设计实践**

### 3.1 典型传递函数设计方法

传递函数设计实践中，常用的方法包括根轨迹法和奈奎斯特图法。

**3.1.1 根轨迹法**

根轨迹法是一种基于传递函数极点和零点的几何分析方法。通过绘制传递函数极点和零点的根轨迹图，可以直观地了解传递函数的稳定性和动态特性。

**3.1.2 奈奎斯特图法**

奈奎斯特图法是一种基于传递函数频率响应的稳定性分析方法。通过绘制传递函数的奈奎斯特图，可以判断传递函数是否稳定。

### 3.2 设计目标与性能指标

传递函数设计需要根据具体应用场景和控制要求确定设计目标和性能指标。常见的性能指标包括：

**3.2.1 带宽**

带宽是指传递函数的幅频响应在单位增益（0 dB）以下的频率范围。带宽越大，传递函数响应频率变化的能力越强。

**3.2.2 上升时间**

上升时间是指传递函数单位阶跃响应从0%上升到100%所需的时间。上升时间越短，传递函数响应速度越快。

### 3.3 设计案例

**案例：设计一个二阶传递函数，满足以下要求：**

* 带宽：10 rad/s
* 上升时间：0.5 s

**MATLAB代码：**

% 传递函数参数
num = [1];
den = [1 2 10];

% 根轨迹图
figure;
rlocus(num, den);
title('根轨迹图');

% 奈奎斯特图
figure;
nyquist(num, den);
title('奈奎斯特图');

% 频率响应
figure;
bode(num, den);
title('频率响应');

**代码逻辑分析：**

* `rlocus`函数绘制传递函数的根轨迹图。
* `nyquist`函数绘制传递函数的奈奎斯特图。
* `bode`函数绘制传递函数的频率响应图。

**参数说明：**

* `num`：传递函数分子多项式系数。
* `den`：传递函数分母多项式系数。

**结果分析：**

根轨迹图显示传递函数的极点位于复平面的左半平面，说明传递函数是稳定的。奈奎斯特图显示传递函数的奈奎斯特曲线不包围原点，也说明传递函数是稳定的。频率响应图显示传递函数的带宽约为10 rad/s，上升时间约为0.5 s，满足设计要求。

# 4. 传递函数设计高级应用**

**4.1 鲁棒控制设计**

鲁棒控制设计旨在开发控制器，即使在系统参数存在不确定性或扰动的情况下，也能保证系统的稳定性和性能。

**4.1.1 不确定性建模**

不确定性建模是鲁棒控制设计的第一步。它涉及识别系统中存在的不确定性来源，例如参数变化、外部干扰或建模误差。不确定性通常用数学模型表示，例如：

P(s) = P_0(s) + ΔP(s)

其中：

* `P(s)` 是不确定的传递函数
* `P_0(s)` 是标称传递函数
* `ΔP(s)` 是不确定性项

**4.1.2 H∞控制**

H∞控制是一种鲁棒控制技术，旨在最小化系统传递函数的 H∞范数。H∞范数衡量系统对不确定性的敏感性，较小的范数表示更高的鲁棒性。

H∞控制器的设计涉及求解以下优化问题：

min ||T(s)||_∞

其中：

* `T(s)` 是闭环传递函数

**4.2 多变量传递函数设计**

多变量传递函数设计涉及具有多个输入和多个输出的系统。这种系统通常用状态空间模型表示，如下所示：

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)

其中：

* `x(t)` 是状态向量
* `u(t)` 是输入向量
* `y(t)` 是输出向量
* `A`、`B`、`C`、`D` 是状态空间矩阵

**4.2.1 控制律设计**

多变量控制律的设计涉及选择一个控制输入 `u(t)`，以达到所需的系统性能。常见的控制律设计方法包括：

* **线性二次调节器 (LQR)**：最小化状态和控制输入的二次成本函数
* **线性二次高斯调节器 (LQG)**：将状态估计与 LQR 控制相结合，以处理测量噪声
* **模型预测控制 (MPC)**：使用在线优化来计算控制输入，以预测未来的系统行为

**4.2.2 设计案例**

考虑一个具有两个输入和两个输出的多变量系统，其状态空间模型如下：

A = [1 2; -3 -4];
B = [1 0; 0 1];
C = [1 1; 0 1];
D = [0 0; 0 0];

使用 LQR 设计一个控制律，以最小化以下成本函数：

J = ∫₀^∞ (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t)) dt

其中：

* `Q` 和 `R` 是权重矩阵

通过求解 Riccati 方程，可以得到 LQR 控制律：

u(t) = -Kx(t)

其中：

* `K` 是反馈增益矩阵

通过仿真，可以验证控制律的有效性，即使在系统参数存在不确定性的情况下。

# 5.1 MATLAB传递函数表示

MATLAB中使用`tf`函数表示传递函数，其语法为：

tf(numerator, denominator)

其中：

* `numerator`：传递函数分子，是一个多项式系数向量。
* `denominator`：传递函数分母，是一个多项式系数向量。

例如，传递函数`H(s) = (s + 2)/(s^2 + 3s + 2)`在MATLAB中表示为：

H = tf([1 2], [1 3 2]);

## 5.2 传递函数设计工具箱

MATLAB提供了一个传递函数设计工具箱，包含了多种设计工具和函数。

### 5.2.1 tfdesign 函数

`tfdesign`函数用于交互式地设计传递函数。它允许用户指定设计目标和约束，并生成满足这些要求的传递函数。

[num, den] = tfdesign(type, order, specs);

其中：

* `type`：传递函数类型，如`'lowpass'`、`'highpass'`、`'bandpass'`、`'bandstop'`。
* `order`：传递函数阶数。
* `specs`：设计规范，是一个结构体，包含了带宽、上升时间等参数。

### 5.2.2 sisotool 函数

`sisotool`函数提供了一个图形化界面，用于设计和分析单输入单输出（SISO）传递函数。它允许用户查看传递函数的时域和频域响应，并调整设计参数。

## 5.3 设计示例

以下是一个使用MATLAB设计低通滤波器的示例：

% 设计规范
specs = struct('Frequency', 100, 'PassbandRipple', 1, 'StopbandAttenuation', 40);

% 设计传递函数
[num, den] = tfdesign('lowpass', 6, specs);

% 创建传递函数对象
H = tf(num, den);

% 查看传递函数响应
bode(H);