MATLAB传递函数分析：深入剖析频率响应，掌控系统稳定性

# 1. MATLAB传递函数基础**

传递函数是描述线性时不变（LTI）系统的数学模型，它将系统的输入和输出联系起来。在MATLAB中，传递函数可以用`tf`函数创建，其语法为：

tf(numerator, denominator)

其中，`numerator`和`denominator`是多项式的系数向量，分别表示传递函数分子和分母。例如，以下代码创建了一个传递函数，其分子为`s^2 + 2s + 1`，分母为`s^3 + 3s^2 + 2s + 1`：

>> num = [1 2 1];
>> den = [1 3 2 1];
>> H = tf(num, den);

创建传递函数后，可以使用`bode`函数绘制其波德图，或使用`nyquist`函数绘制其奈奎斯特图。这些图示可以提供有关系统频率响应的重要信息，包括其稳定性、带宽和阻尼比。

# 2. 传递函数分析理论

### 2.1 频率响应的定义和意义

频率响应是传递函数在不同频率下的幅度和相位的变化情况。它反映了系统对不同频率输入信号的响应特性。

**幅度响应：**表示传递函数在不同频率下的幅度增益，即输出信号与输入信号幅度的比值。

**相位响应：**表示传递函数在不同频率下的相位偏移，即输出信号与输入信号相位的差值。

频率响应对于系统分析和设计至关重要，它可以帮助我们了解：

- 系统的稳定性
- 系统的带宽
- 系统的阻尼比
- 系统的谐振频率

### 2.2 奈奎斯特稳定判据

奈奎斯特稳定判据是一种图形化方法，用于判断线性时不变系统（LTI）的稳定性。它基于传递函数的开环频率响应。

**判据内容：**如果开环传递函数的奈奎斯特图不包围原点，则系统稳定。

**奈奎斯特图：**传递函数的频率响应图，其中横轴为频率，纵轴为幅度角（相位角乘以-1）。

**步骤：**

1. 绘制开环传递函数的奈奎斯特图。
2. 检查奈奎斯特图是否包围原点。
3. 如果不包围，则系统稳定。

### 2.3 波德图

波德图是频率响应的另一种表示形式，它将幅度响应和相位响应分别绘制在两个图中。

**幅度响应图：**横轴为频率，纵轴为幅度增益（分贝）。

**相位响应图：**横轴为频率，纵轴为相位偏移（度）。

波德图对于系统分析和设计也很有用，它可以帮助我们：

- 确定系统的带宽
- 估计系统的阻尼比
- 识别系统的谐振频率

**代码示例：**

% 定义传递函数
num = [1];
den = [1 2 1];
sys = tf(num, den);

% 绘制奈奎斯特图
figure;
nyquist(sys);
title('奈奎斯特图');

% 绘制波德图
figure;
bode(sys);
title('波德图');

**逻辑分析：**

* `tf` 函数创建传递函数对象。
* `nyquist` 函数绘制奈奎斯特图。
* `bode` 函数绘制波德图。

# 3. MATLAB传递函数分析实践

### 3.1 传递函数的创建和绘制

在MATLAB中，可以使用`tf`函数创建传递函数。`tf`函数的语法如下：

tf(num, den)

其中，`num`和`den`分别表示传递函数的分母和分子多项式。例如，创建传递函数：

H = tf([1 2], [1 3 2]);

表示传递函数：

H(s) = (s + 2) / (s^2 + 3s + 2)

创建传递函数后，可以使用`bode`函数绘制传递函数的频率响应。`bode`函数的语法如下：

bode(H)

执行上述代码将绘制传递函数的幅度和相位响应。

### 3.2 奈奎斯特图的绘制和分析

奈奎斯特图是传递函数频率响应的一种图形表示，用于评估系统的稳定性。在MATLAB中，可以使用`nyquist`函数绘制奈奎斯特图。`nyquist`函数的语法如下：

nyquist(H)

执行上述代码将绘制传递函数的奈奎斯特图。奈奎斯特图的实轴表示频率，虚轴表示相位。如果奈奎斯特图不包围原点，则系统是稳定的。

### 3.3 波德图的绘制和分析

波德图是传递函数频率响应的另一种图形表示，用于评估系统的带宽和阻尼比。在MATLAB中，可以使用`bode`函数绘制波德图。`bode`函数的语法如下：

bode(H, {omega_min, omega_max})

其中，`omega_min`和`omega_max`分别表示波德图的最小和最大频率。例如，绘制传递函数的波德图：

bode(H, {0.1, 100})

执行上述代码将绘制传递函数的波德图。波德图的幅度响应表示系统的增益，相位响应表示系统的相移。

# 4. 传递函数分析在系统设计中的应用

### 4.1 系统稳定性的评估

传递函数分析在系统设计中至关重要，因为它可以帮助工程师评估系统的稳定性。系统稳定性是指系统在受到扰动后是否能够恢复到平衡状态。

**奈奎斯特稳定判据**

奈奎斯特稳定判据是评估系统稳定性的常用方法。该判据指出，如果传递函数的奈奎斯特图不包围原点，则系统是稳定的。否则，系统是不稳定的。

**波德图**

波德图也是评估系统稳定性的另一种方法。波德图显示了传递函数的幅度和相位响应随频率的变化。通过分析波德图，工程师可以确定系统的稳定性、带宽和阻尼比。

### 4.2 系统带宽和阻尼比的优化

传递函数分析还可以用于优化系统的带宽和阻尼比。

**带宽**

系统的带宽是指系统能够有效响应的频率范围。带宽可以通过调整传递函数的极点和零点来优化。

**阻尼比**

系统的阻尼比是衡量系统衰减振荡的能力。阻尼比可以通过调整传递函数的极点和零点来优化。

**代码示例**

以下 MATLAB 代码演示了如何使用传递函数分析来评估系统稳定性：

% 定义传递函数
num = [1];
den = [1 2 1];
sys = tf(num, den);

% 绘制奈奎斯特图
figure;
nyquist(sys);
title('奈奎斯特图');

% 绘制波德图
figure;
bode(sys);
title('波德图');

% 评估稳定性
if isstable(sys)
    disp('系统是稳定的');
else
    disp('系统是不稳定的');
end

**参数说明**

* `num`：传递函数的分母多项式系数。
* `den`：传递函数的分母多项式系数。
* `sys`：传递函数对象。
* `isstable(sys)`：判断传递函数是否稳定的函数。

**逻辑分析**

* 该代码首先定义了传递函数 `sys`。
* 然后绘制了奈奎斯特图和波德图。
* 最后，使用 `isstable(sys)` 函数评估了系统的稳定性。

# 5.1 复杂传递函数的分析

在实际工程应用中，传递函数往往会变得复杂，包含多个极点和零点。分析此类传递函数需要采用更高级的技术。

**极点和零点的分析**

极点和零点是传递函数中重要的特征，它们决定了传递函数的频率响应特性。极点对应于传递函数分母多项式的根，而零点对应于传递函数分子多项式的根。

* **极点：**极点位于复平面上，其实部为负值时，系统稳定。实部为正值时，系统不稳定。极点的数量和位置决定了系统的稳定性和动态响应。
* **零点：**零点也位于复平面上，其实部为正值时，系统稳定。实部为负值时，系统不稳定。零点的数量和位置决定了系统的带宽和阻尼比。

**频率响应的分析**

复杂传递函数的频率响应可以通过绘制波德图或奈奎斯特图来分析。

* **波德图：**波德图将传递函数的幅度和相位角分别绘制在频率的对数坐标上。通过观察波德图，可以快速了解传递函数的频率响应特性，包括带宽、增益裕度和相位裕度。
* **奈奎斯特图：**奈奎斯特图将传递函数的幅度和相位角绘制在复平面上。通过观察奈奎斯特图，可以判断传递函数的稳定性，并确定系统在不同频率下的增益和相位裕度。

**例子：**

考虑以下传递函数：

G(s) = (s + 1) / (s^2 + 2s + 10)

* **极点：**s = -1 ± 3i
* **零点：**s = -1

**波德图：**

bode(G)

从波德图中可以看出，传递函数的带宽约为 1 rad/s，增益裕度约为 10 dB，相位裕度约为 45°。

**奈奎斯特图：**

nyquist(G)

从奈奎斯特图中可以看出，传递函数稳定，因为奈奎斯特曲线不包围原点。

## 5.2 参数变化对传递函数的影响

在实际应用中，传递函数的参数可能会发生变化。分析参数变化对传递函数的影响对于系统设计和稳定性评估至关重要。

**参数灵敏度分析**

参数灵敏度分析可以量化传递函数参数变化对传递函数响应的影响。参数灵敏度定义为传递函数响应相对于参数变化的相对变化率。

S = d(ln(G)) / d(ln(p))

其中：

* S 为参数灵敏度
* G 为传递函数
* p 为参数

**例子：**

考虑以下传递函数：

G(s) = (s + 1) / (s^2 + 2s + 10)

分析参数 k 对传递函数的影响，其中 k 为传递函数分母中的系数。

syms k
G = (s + 1) / (s^2 + 2*s + 10*k);
S = diff(log(G), log(k));

参数灵敏度为：

S = -10 / (s^2 + 2*s + 10*k)

**结论：**

通过分析复杂传递函数和参数变化对传递函数的影响，工程师可以深入了解传递函数的特性，并对系统稳定性和性能进行准确评估。这些技术在控制系统、信号处理和通信系统等领域具有广泛的应用。

# 6.1 控制系统设计案例

**目标：**设计一个反馈控制系统，以实现对电机速度的精确控制。

**步骤：**

1. **建立系统模型：**

% 系统参数
J = 0.01; % 转动惯量 (kg m^2)
B = 0.1;  % 阻尼系数 (N m s/rad)
K = 10;   % 电机增益 (N m/V)

% 传递函数
G = tf([K], [J, B, K]);

2. **绘制奈奎斯特图：**

figure;
nyquist(G);
grid on;
title('奈奎斯特图');

**分析：**奈奎斯特图显示系统在整个频率范围内稳定。

3. **优化系统响应：**

通过调整反馈增益 K，可以优化系统的响应时间和阻尼比。

% 调整反馈增益
K_opt = 15;
G_opt = tf([K_opt], [J, B, K_opt]);

% 绘制波德图
figure;
bode(G_opt);
grid on;
title('波德图');

**分析：**波德图显示，优化后的系统具有更快的响应时间和更高的阻尼比。

4. **实现控制器：**

% 设计 PID 控制器
C = pid(1, 0.1, 0.01);

% 闭环系统
T = feedback(G_opt * C, 1);

% 绘制阶跃响应
figure;
step(T);
grid on;
title('阶跃响应');

**分析：**阶跃响应显示，闭环系统具有良好的稳定性和跟踪性能。