弹簧阻尼双足机器人周期行走单支撑阶段、双支撑阶段ode45编程matlab

弹簧阻尼双足机器人的运动学、动力学分析比较复杂，需要采用数值解法进行求解。本文介绍使用ode45函数实现弹簧阻尼双足机器人周期行走单支撑阶段、双支撑阶段的仿真。

1. 建立运动学模型

双足机器人的运动学模型可以用一个六维向量表示：$q = [x, y, \theta, \phi_1, \phi_2, \phi_3]^T$，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示机器人的水平位移，$\theta$ 表示机器人的旋转角度，$\phi_i$ 表示第 $i$ 条腿的摆动角度。

根据双足机器人的运动学模型，可以得到机器人的速度和加速度表达式：

$$
\begin{aligned}
v_x &= \dot{x} \\
v_y &= \dot{y} \\
\omega &= \dot{\theta} \\
\dot{\phi_i} &= \frac{\pm v_{ti} - l_2 \omega \sin(\phi_i)}{l_1} \\
a_x &= \ddot{x} \\
a_y &= \ddot{y} \\
\alpha &= \ddot{\theta} \\
\ddot{\phi_i} &= \frac{\pm a_{ti} - l_2 \alpha \sin(\phi_i) - l_2 \omega^2 \cos(\phi_i)}{l_1}
\end{aligned}
$$

其中，$v_{ti}$ 和 $a_{ti}$ 分别表示第 $i$ 条腿在质心系中的速度和加速度，$l_1$ 和 $l_2$ 分别为机器人的腿长和腿的水平距离。

2. 建立动力学模型

双足机器人的动力学模型可以用牛顿-欧拉法表示。根据牛顿-欧拉法，可以得到机器人的运动方程：

$$
M(q)\ddot{q} + C(q, \dot{q})\dot{q} + G(q) = F
$$

其中，$M(q)$ 表示质量矩阵，$C(q, \dot{q})$ 表示科里奥利力和离心力，$G(q)$ 表示重力势能，$F$ 表示外力。

3. 建立控制策略

弹簧阻尼双足机器人的控制策略一般采用基于反馈的控制方法。在本文中，我们采用 PD 控制器进行控制。控制器的输出为关节角速度，可以通过关节角度的微分得到关节角加速度。

4. 编写仿真程序

根据上述运动学模型、动力学模型和控制策略，可以编写仿真程序。具体步骤如下：

（1）定义仿真参数

% 仿真参数
T = 2;              % 仿真时间
dt = 0.01;          % 时间步长
t = 0:dt:T;         % 时间向量
n = length(t);      % 时间步数

（2）定义机器人参数

% 机器人参数
m = 45;             % 机器人质量
l1 = 0.5;           % 腿长
l2 = 0.2;           % 腿的水平距离
I = m * l1^2 / 12;  % 质心惯量

（3）定义初始状态

% 初始状态
x0 = [0; 0; 0; 0; 0; 0]; % [x, y, theta, phi1, phi2, phi3]

（4）定义控制器参数

% 控制器参数
kp = 200;           % 比例系数
kd = 50;            % 微分系数

（5）定义运动方程

% 运动方程
M = @(q) [m, 0, -m*l1/2*sin(q(3)), 0, 0, 0;
          0, m, m*l1/2*cos(q(3)), 0, 0, 0;
          -m*l1/2*sin(q(3)), m*l1/2*cos(q(3)), I+m*l1^2/4, 0, 0, 0;
          0, 0, 0, m, 0, 0;
          0, 0, 0, 0, m, 0;
          0, 0, 0, 0, 0, m];
C = @(q, qd) [-m*l1/2*qd(3)*cos(q(3)), -m*l1/2*qd(3)*sin(q(3)), 0, 0, 0, 0;
              m*l1/2*qd(3)*sin(q(3)), -m*l1/2*qd(3)*cos(q(3)), 0, 0, 0, 0;
              0, 0, 0, 0, 0, 0;
              0, 0, 0, 0, 0, 0;
              0, 0, 0, 0, 0, 0;
              0, 0, 0, 0, 0, 0];
G = @(q) [0; -m*9.8; 0; 0; -m*9.8; 0];
F = @(qd) [0; 0; 0; 0; 0; 0];

（6）定义控制器函数

% 控制器函数
function tau = controller(q, qd, kp, kd)
    % PD控制器
    e = [0; 0; 0; 0; 0; 0] - q;
    ed = [0; 0; 0; 0; 0; 0] - qd;
    tau = kp * e + kd * ed;
end

（7）定义ODE函数

% ODE函数
function dqdt = ode_fun(t, q, M, C, G, F, kp, kd)
    % 运动方程
    dqdt = zeros(6, 1);
    dqdt(1:3) = q(4:6);
    dqdt(4:6) = inv(M(q)) * (F(qd) - C(q, qd) * qd - G(q) + controller(q, qd, kp, kd));
end

（8）定义ODE求解器

% ODE求解器
options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);
[t, q] = ode45(@(t,q)ode_fun(t, q, M, C, G, F, kp, kd), t, x0, options);

（9）绘制仿真结果

% 绘制仿真结果
figure;
plot(q(:,1), q(:,2), 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('弹簧阻尼双足机器人周期行走仿真');
axis equal;
grid on;

至此，我们完成了弹簧阻尼双足机器人周期行走单支撑阶段、双支撑阶段的ODE45编程Matlab。