dy/dx＝y/x + 1，y(1)=1。解初值

这是一个一阶常微分方程，可以使用分离变量法来求解。

将方程改写成 dy/(y+dx) = dx/x

对两边同时积分，得到 ln|y+x| = ln|x| + C

其中C为常数。移项得到 ln|y+x| - ln|x| = C

使用指数函数的性质，得到 e^C * |x| = |y+x|

由于初始条件为y(1)=1，代入方程得到 e^C = 2，因此原方程的解为：

|y+x| = 2|x|

当x>0时，y+x=2x，解得 y= x

当x<0时，y+x=-2x，解得 y=-3x

因此，原方程的解为 y = { x (x>=0), -3x (x<0)}

相关问题

用向前欧拉公式解初值问题dy/dx=x+y2

向前欧拉公式是一种数值解常微分方程初值问题的方法。对于给定的微分方程dy/dx = xy^2，我们可以使用向前欧拉公式逐步逼近方程的解。

首先，我们需要给定初值条件y(0) = y0。然后，我们选择一个步长h，将区间[0, x]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h。

根据向前欧拉公式，我们可以得到如下递推式：
y(i+1) = y(i) + h * f(i, y(i))

其中，f(i, y(i))是在点(i, y(i))处对微分方程的右侧进行近似的函数。对于本题目中的微分方程，我们有f(i, y(i)) = xi * y(i)^2。

根据递推式，我们可以从i=0开始逐步逼近方程的解。首先，我们计算出y(1) = y(0) + h * f(0, y(0))，然后计算出y(2) = y(1) + h * f(1, y(1))，依此类推，直到计算出y(n)。这样我们就得到了区间[0, x]上微分方程的近似解。

当步长h足够小时，向前欧拉公式给出的近似解会趋近于微分方程的精确解。但是，当步长过大时，由于对微分方程进行近似会引入误差，向前欧拉公式得出的解可能会有较大误差。

总结起来，通过使用向前欧拉公式，我们可以通过逐步逼近的方式求解给定的初值问题dy/dx = xy^2。

例题：在区间【0，1】上以h=0.1用欧拉法，预估校正法,经典的四阶龙格库塔法求解微分方程 dy/dx=-y+x+1，初值y（0）=1；其精确解为y=x+exp(-x),且将计算结果与精确解进行比较，对三个算法的收敛性的进行分析比较。

首先，将微分方程转化为离散形式：

dy/dx ≈ (y[i+1] - y[i])/h

则有：

y[i+1] = y[i] + h*(-y[i] + x[i] + 1)

其中，h=0.1, x[i]=i*h

精确解为 y=x+exp(-x)，代码如下：

import math

def exact_solution(x):
    return x + math.exp(-x)

接下来，分别使用欧拉法、预估校正法和四阶龙格库塔法求解微分方程：

欧拉法代码如下：

def euler_method(f, h, y0, x):
    y = [y0]
    for i in range(len(x)-1):
        y.append(y[i] + h*f(x[i], y[i]))
    return y

预估校正法代码如下：

def predictor_corrector_method(f, h, y0, x):
    y = [y0]
    for i in range(len(x)-1):
        y_predict = y[i] + h*f(x[i], y[i])
        y.append(y[i] + h*(f(x[i], y[i]) + f(x[i+1], y_predict))/2)
    return y

四阶龙格库塔法代码如下：

def runge_kutta_method(f, h, y0, x):
    y = [y0]
    for i in range(len(x)-1):
        k1 = h*f(x[i], y[i])
        k2 = h*f(x[i] + h/2, y[i] + k1/2)
        k3 = h*f(x[i] + h/2, y[i] + k2/2)
        k4 = h*f(x[i] + h, y[i] + k3)
        y.append(y[i] + 1/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4))
    return y

接下来，分别调用三个求解函数，并将结果与精确解进行比较：

import matplotlib.pyplot as plt

# 定义微分方程
def f(x, y):
    return -y + x + 1

# 定义区间
a = 0
b = 1
h = 0.1
x = [a+i*h for i in range(int((b-a)/h)+1)]

# 求解微分方程
y_exact = [exact_solution(xi) for xi in x]
y_euler = euler_method(f, h, 1, x)
y_predictor_corrector = predictor_corrector_method(f, h, 1, x)
y_runge_kutta = runge_kutta_method(f, h, 1, x)

# 绘制图像
plt.plot(x, y_exact, label='Exact')
plt.plot(x, y_euler, label='Euler')
plt.plot(x, y_predictor_corrector, label='Predictor-Corrector')
plt.plot(x, y_runge_kutta, label='Runge-Kutta')
plt.legend()
plt.show()

运行结果如图所示：


从图中可以看出，四阶龙格库塔法的精度最高，而欧拉法的精度最低。当步长 h 较小时，三种方法的精度都会提高，但是预估校正法和四阶龙格库塔法的效果会更好一些。