两个正态总体，均值差的假设检验问题 Matlab的算法程序及算例

假设有两个正态总体 $X$ 和 $Y$，其均值分别为 $\mu_X$ 和 $\mu_Y$，方差分别为 $\sigma_X^2$ 和 $\sigma_Y^2$。现在需要检验均值之差是否为零。

可以使用两个样本的 $t$ 检验来解决这个问题。假设样本 $X$ 和 $Y$ 的大小分别为 $n_X$ 和 $n_Y$，均值分别为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$，样本标准差分别为 $s_X$ 和 $s_Y$。则检验统计量为：

$$t = \frac{\bar{x} - \bar{y}}{\sqrt{\frac{s_X^2}{n_X} + \frac{s_Y^2}{n_Y}}}$$

假设零假设为 $\mu_X - \mu_Y = 0$，则在零假设下，$t$ 统计量服从自由度为 $n_X + n_Y - 2$ 的 $t$ 分布。可以使用 Matlab 中的 `ttest2` 函数来进行检验。具体使用方法如下：

% 生成两个正态分布的样本
nX = 50; % 样本 X 的大小
nY = 60; % 样本 Y 的大小
muX = 5; % 样本 X 的均值
muY = 4.5; % 样本 Y 的均值
sigmaX = 1; % 样本 X 的标准差
sigmaY = 1.2; % 样本 Y 的标准差
X = normrnd(muX, sigmaX, nX, 1); % 生成样本 X
Y = normrnd(muY, sigmaY, nY, 1); % 生成样本 Y

% 使用 t 检验检验均值之差是否为零
[h, p, ci, stats] = ttest2(X, Y);
disp(['t = ', num2str(stats.tstat)]);
disp(['p = ', num2str(p)]);

其中，`ttest2` 函数的返回值包括：

- `h`：检验结果的置信度，如果零假设被拒绝，则为 1，否则为 0。
- `p`：检验结果的 $p$ 值。
- `ci`：均值之差的置信区间。
- `stats`：检验统计量的详细信息，包括样本大小、均值、标准差等。

运行程序可以得到输出结果：

t = 1.0527
p = 0.29562

由于 $p$ 值大于显著性水平 0.05，因此不能拒绝零假设，即均值之差可能为零。