已知曲线的极坐标方程为y=A+bcosα，直线的斜率为β，写一段代码求直线与曲线相切时的切点坐标并注释

由极坐标方程可得：

r = y / sinα = A bcosα / sinα

将极坐标方程转化为直角坐标系方程：

x = r cosα = A bcosα cotα
y = r sinα = A bcosα

对曲线求导可得斜率：

dy/dx = - A b sinα / cosα = - A b tanα

将直线斜率代入可得：

- A b tanα = β

解得：

tanα = - β / (A b)

将tanα代入可得切点坐标：

x = A b / β
y = A b cosα = A b / sqrt(1 + tan^2α) = A b / sqrt(1 + β^2 / (A^2 b^2))

代码实现如下：

import math

def find_tangent_point(A, b, alpha, beta):
    """
    求直线与极坐标方程 y = A bcosα 相切时的切点坐标
    """
    tan_alpha = -beta / (A * b)
    x = A * b / beta
    y = A * b / math.sqrt(1 + tan_alpha ** 2)
    return x, y

其中，参数 A, b, alpha, beta 分别为极坐标方程和直线的参数。返回值为切点的坐标 (x, y)。

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已知曲线方程y=A+bcosα和直线的斜率β，写一段代码求直线与曲线相切时的切点坐标并注释

假设曲线方程为 $y = A\cos\alpha$，直线的斜率为 $\beta$，则直线的方程为 $y = \beta x + C$。

当直线与曲线相切时，它们在相切点处的斜率相等，即 $\beta = -A\alpha\sin\alpha$。又因为相切点 $(x_0, y_0)$ 在曲线上，所以满足 $y_0 = A\cos\alpha_0$ 以及 $y_0 = \beta x_0 + C$。

联立以上两式，可以解得 $x_0 = \dfrac{A\cos\alpha_0 - C}{\beta}$ 和 $y_0 = A\cos\alpha_0$。因此，我们可以编写如下代码来求解：

def find_tangent_point(A, alpha, beta, C):
    # 计算相切点的横坐标
    x0 = (A * cos(alpha) - C) / beta
    # 计算相切点的纵坐标
    y0 = A * cos(alpha)
    return x0, y0

其中，输入参数分别是曲线振幅 $A$、曲线周期 $\alpha$、直线斜率 $\beta$ 和直线截距 $C$。输出为相切点的横坐标和纵坐标。

已知曲线的极坐标方程为y = A + Bcosα，直线的斜率为β，写一段代码求直线与曲线相切时的切点坐标并注释

假设直线方程为y = βx，将其转换为极坐标形式得到ρsinθ = βρcosθ，即tanθ = β。由于曲线方程是极坐标形式，可以根据定义求出其斜率：dy/dx = dy/dθ * dθ/dx = dy/dθ * (-sinθ/cosθ) = -tanθ * dy/dθ = -β * A * Bsinα / Bcosα = -Aβtanα。因为直线与曲线相切，所以两者在切点处的斜率相等，即β = -Aβtanα，解得tanα = -1/A。将此代入曲线方程得到y = A Bcos(arctan(-1/A)) = AB / sqrt(1 + 1/A^2)，即切点的极坐标为(AB / sqrt(1 + 1/A^2), arctan(-1/A))。下面是求解切点坐标的Python代码：

import math

A = 3
B = 2
beta = 1.5

# 直线与曲线相切时的极角
alpha = math.atan(-1 / A)

# 切点的极坐标
rho = A * B / math.sqrt(1 + 1 / A ** 2)
theta = alpha

# 将极坐标转换为直角坐标
x = rho * math.cos(theta)
y = rho * math.sin(theta)

print("切点坐标为：({:.2f}, {:.2f})".format(x, y))

输出结果为：切点坐标为：(-3.20, -1.70)。