为什么周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量有效值的平方和?给出公式推导

周期信号可以表示为傅里叶级数展开形式：

$$
f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega_0t) + b_n \sin(n\omega_0t)]
$$

其中，$\omega_0$为基频，$a_n$和$b_n$是傅里叶系数。根据平均功率的定义，周期信号$f(t)$的平均功率为：

$$
P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} [f(t)]^2 dt
$$

将$f(t)$的傅里叶级数展开代入上式，可得：

\begin{align*}
P &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n\omega_0t) + b_n \sin(n\omega_0t)]\right]^2 dt \\
&= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left[\frac{a_0^2}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} [a_na_m \cos(n\omega_0t) \cos(m\omega_0t) + b_nb_m \sin(n\omega_0t) \sin(m\omega_0t)] \right. \\
&\quad \left. + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} [a_nb_m \cos(n\omega_0t) \sin(m\omega_0t) - b_na_m \sin(n\omega_0t) \cos(m\omega_0t)] \right] dt \\
&= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{a_0^2}{4} dt + \frac{1}{T} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \left[\frac{a_na_m}{2} \int_{0}^{T} \cos(n\omega_0t) \cos(m\omega_0t) dt + \frac{b_nb_m}{2} \int_{0}^{T} \sin(n\omega_0t) \sin(m\omega_0t) dt \right. \\
&\quad \left. + \frac{a_nb_m}{2} \int_{0}^{T} \cos(n\omega_0t) \sin(m\omega_0t) dt - \frac{b_na_m}{2} \int_{0}^{T} \sin(n\omega_0t) \cos(m\omega_0t) dt \right] \\
\end{align*}

由于正弦和余弦函数的积在一个周期内的积分结果为$0$，可以得到：

\begin{align*}
P &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{a_0^2}{4} dt + \frac{1}{T} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n^2}{2} + \frac{1}{T} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n^2}{2} \\
&= \frac{1}{T} \left[\frac{a_0^2T}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n^2T}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n^2T}{2}\right] \\
&= \frac{a_0^2}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n^2}{2} \\
&= \frac{1}{T} \left(\frac{a_0^2T}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 T + \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 T \right) \\
&= \frac{1}{T} \left(\frac{a_0^2T}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 T \right) + \frac{1}{T} \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 T \\
&= \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 \\
&= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} [f(t)]^2 dt \\
\end{align*}

因此，周期信号$f(t)$的平均功率等于傅里叶级数展开各谐波分量有效值的平方和：

$$
P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} [f(t)]^2 dt = \frac{1}{2} \left[|a_0|^2 + \sum_{n=1}^{\infty} (|a_n|^2 + |b_n|^2)\right]
$$