施密特正交分解求解矩阵的特征值和特征向量

施密特正交化可以用于求解一个实对称矩阵的特征值和特征向量。假设我们要求解矩阵A的特征值和特征向量，可以按照以下步骤进行施密特正交化：

1. 对A进行QR分解，得到Q和R矩阵。
2. 初始化特征向量矩阵V为Q。
3. 以V为基向量组成的子空间为一个Krylov子空间，使用QR分解求解该子空间的特征值和特征向量。
4. 如果Krylov子空间的维度小于矩阵A的维度，则将新的特征向量加入到V中，并返回步骤3；否则，返回特征值和特征向量。

下面是MATLAB代码实现：

function [V, D] = schmidt_eig(A)
% A: real symmetric matrix
% V: matrix of eigenvectors
% D: diagonal matrix of eigenvalues

n = size(A, 1);
V = eye(n); % initialize eigenvector matrix

while true
    [Q, R] = qr(V' * A * V); % QR decomposition
    D = diag(R); % diagonal elements are eigenvalues
    if norm(triu(R, 1)) < eps % check if R is upper triangular
        break
    end
    [V,~] = qr(Q * V); % update eigenvector matrix
end

end

该函数会返回矩阵A的特征向量和特征值，其中特征向量按列排列在矩阵V中，特征值按对角线排列在矩阵D中。