C++求模运算的乘法逆元

对于正整数a和m，如果存在一个正整数x满足ax ≡ 1 (mod m)，那么我们称x为a在模m意义下的乘法逆元。如果不存在这样的x，我们则称a在模m意义下没有乘法逆元。

求模运算的乘法逆元的方法有很多，以下是其中一种方法：

使用扩展欧几里得算法求解a和m的最大公约数gcd(a,m)，如果gcd(a,m)>1，说明a在模m意义下没有乘法逆元；
如果gcd(a,m)=1，那么根据扩展欧几里得算法的推论，可以求解出一组整数x和y，使得ax+my=gcd(a,m)=1；
因为ax ≡ 1 (mod m)，所以ax ≡ 1 + km，其中k是一个整数；
因此，x ≡ (1 + km)/a (mod m)，其中k可以是任意整数，但是为了保证x在模m意义下的值最小，一般取k使得x的值在0~m-1之间。具体地，可以先计算(1 + km)%m，然后再计算 (1 + km)/a mod m。

以上就是求模运算的乘法逆元的基本方法。在实际计算中，可以预处理出所有1~m-1之间的整数在模m意义下的乘法逆元，存储在一个数组中，在需要使用时直接查表就可以了。

相关问题

辗转相除法求模乘逆元的c++代码

辗转相除法求模乘逆元的 C 代码如下：

#include <stdio.h>
int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    int d = a;
    if (b != 0) {
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    } else {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    return d;
}
int mod_inverse(int a, int m)
{
    int x, y;
    extgcd(a, m, x, y);
    return (m + x % m) % m;
}
int main()
{
    int a = 3, m = 11;
    printf("%d 的模 %d 乘逆元为 %d\n", a, m, mod_inverse(a, m));
    return 0;
}

以上代码使用了扩展欧几里得算法求解模乘逆元。其中，`extgcd` 函数可以求解任意两个整数的最大公约数，并返回其值，同时通过引用返回参数 `x` 和 `y` 的值，满足 $ax + by = \gcd(a, b)$。`mod_inverse` 函数则使用 `extgcd` 求解模乘逆元，即 $a$ 模 $m$ 的乘法逆元 $x$，满足 $ax \equiv 1 \pmod m$，并返回其值。

c++类模板实现向量运算

类模板是C++中一种通用的编程技术，它允许我们定义一个模板类，在这个类中可以使用任意类型的数据。因此，我们可以使用类模板来实现向量的运算。

首先，我们可以定义一个名为Vector的类模板，其中包含私有数据成员和公共成员函数。私有数据成员可以包括向量的元素以及向量的大小。公共成员函数则可以包括向量的初始化、复制、加法、减法、点乘和输出等操作。

在类模板中，我们可以使用模板参数来表示向量的元素类型。例如，使用typename T来表示元素类型。这样，在模板类中，我们可以使用T来声明向量的元素数组。

接下来，我们可以实现类模板中的各个成员函数。例如，我们可以使用构造函数来初始化向量的大小，并使用析构函数来释放内存。我们还可以使用复制构造函数和赋值运算符重载函数来实现向量的复制操作。

在加法、减法和点乘运算中，我们可以使用循环语句遍历向量的元素，并进行相应的运算。最后，我们可以使用输出函数来显示向量的元素。

使用类模板实现向量运算的好处是，我们可以在运行时根据需要实例化类模板，并使用不同类型的数据来进行运算。这样，我们可以更加灵活地处理不同类型的向量操作。

综上所述，我们可以通过实现一个类模板来实现向量的运算。这种方法可以使我们更加灵活地处理不同类型的向量，并实现各种向量运算的功能。