长方体3维热传导偏微分方程C++算法实现

以下是一个基于有限差分法的长方体3维热传导偏微分方程的C++实现：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 100;  // 离散化后的网格数
const double L = 1.0;  // 长方体的长度
const double W = 1.0;  // 长方体的宽度
const double H = 1.0;  // 长方体的高度
const double dx = L / (N - 1);  // x方向上的网格间距
const double dy = W / (N - 1);  // y方向上的网格间距
const double dz = H / (N - 1);  // z方向上的网格间距
const double k = 1.0;  // 热传导系数
const double rho = 1.0;  // 密度
const double cp = 1.0;  // 热容量
const double alpha = k / (rho * cp);  // 热扩散系数
const double dt = 0.01;  // 时间步长
const double T = 100.0;  // 终止时间

double u[N][N][N];  // 存储温度分布

// 边界条件
void set_boundary_condition()
{
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            u[i][j][0] = 0.0;  // z = 0
            u[i][j][N - 1] = 0.0;  // z = H
        }
    }
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int k = 0; k < N; k++) {
            u[i][0][k] = 0.0;  // y = 0
            u[i][N - 1][k] = 0.0;  // y = W
        }
    }
    for (int j = 0; j < N; j++) {
        for (int k = 0; k < N; k++) {
            u[0][j][k] = 100.0;  // x = 0
            u[N - 1][j][k] = 0.0;  // x = L
        }
    }
}

// 初始化温度分布
void set_initial_condition()
{
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            for (int k = 0; k < N; k++) {
                u[i][j][k] = 0.0;
            }
        }
    }
    set_boundary_condition();  // 设置边界条件
}

// 计算一个时间步长的温度分布
void calculate_temperature_distribution()
{
    double u_new[N][N][N];
    for (int i = 1; i < N - 1; i++) {
        for (int j = 1; j < N - 1; j++) {
            for (int k = 1; k < N - 1; k++) {
                double laplacian = (u[i + 1][j][k] - 2 * u[i][j][k] + u[i - 1][j][k]) / (dx * dx)
                    + (u[i][j + 1][k] - 2 * u[i][j][k] + u[i][j - 1][k]) / (dy * dy)
                    + (u[i][j][k + 1] - 2 * u[i][j][k] + u[i][j][k - 1]) / (dz * dz);
                u_new[i][j][k] = u[i][j][k] + alpha * laplacian * dt;
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i < N - 1; i++) {
        for (int j = 1; j < N - 1; j++) {
            for (int k = 1; k < N - 1; k++) {
                u[i][j][k] = u_new[i][j][k];
            }
        }
    }
    set_boundary_condition();  // 设置边界条件
}

int main()
{
    set_initial_condition();  // 初始化温度分布
    double t = 0.0;
    while (t < T) {
        calculate_temperature_distribution();  // 计算一个时间步长的温度分布
        t += dt;
    }
    return 0;
}

在上述代码中，我们首先定义了一些常量，包括长方体的长度、宽度和高度，网格数N，网格间距dx、dy和dz，热传导系数k，密度rho，热容量cp，热扩散系数alpha，时间步长dt，终止时间T等。然后定义了一个三维数组u来存储温度分布，其中u[i][j][k]表示网格点(i,j,k)处的温度。

接着，我们定义了三个函数，分别用于设置边界条件、初始化温度分布和计算一个时间步长的温度分布。在设置边界条件时，我们将长方体的6个面分别设置为绝热壁或恒温壁。在初始化温度分布时，我们将所有网格点的温度都初始化为0，并调用set_boundary_condition函数设置边界条件。在计算一个时间步长的温度分布时，我们先定义一个新的数组u_new用于存储新的温度分布，然后对每个内部网格点(i,j,k)计算其拉普拉斯算子，从而得到当前网格点的温度变化量，最后将新的温度分布复制回u数组中，并再次调用set_boundary_condition函数设置边界条件。

最后，在主函数中，我们先调用set_initial_condition函数初始化温度分布，然后在一个循环中不断调用calculate_temperature_distribution函数计算温度分布，直到达到终止时间T。