矩阵A为正定矩阵，则其上三角矩阵和下三角矩阵的性质

设矩阵 $A$ 为 $n \times n$ 的正定矩阵，其上三角矩阵为 $U$，下三角矩阵为 $L$。则有以下性质：

1. $U$ 和 $L$ 均为非奇异矩阵。
2. $U$ 和 $L$ 均为正定矩阵。
3. $U$ 和 $L$ 均为对角元素为 $1$ 的矩阵（即单位三角矩阵）。
4. $A=LU=U^TL^T$，即 $A$ 的分解因式为 $L$ 和 $U$，其中 $L$ 的对角线上的元素都为 $1$。这被称为 $A$ 的 $LU$ 分解或 $LU$ 因式分解。

这些性质可以通过数学证明和推导得到。需要注意的是，在实际应用中，$LU$ 分解可以用来解线性方程组，因为解 $Ax=b$ 可以转化为解 $LUx=b$ 和 $Ux=y$，这两个方程组都比较容易求解。