矩阵A为正定矩阵,则其上三角矩阵和下三角矩阵的性质
时间: 2023-12-01 17:27:48 浏览: 42
设矩阵 $A$ 为 $n \times n$ 的正定矩阵,其上三角矩阵为 $U$,下三角矩阵为 $L$。则有以下性质:
1. $U$ 和 $L$ 均为非奇异矩阵。
2. $U$ 和 $L$ 均为正定矩阵。
3. $U$ 和 $L$ 均为对角元素为 $1$ 的矩阵(即单位三角矩阵)。
4. $A=LU=U^TL^T$,即 $A$ 的分解因式为 $L$ 和 $U$,其中 $L$ 的对角线上的元素都为 $1$。这被称为 $A$ 的 $LU$ 分解或 $LU$ 因式分解。
这些性质可以通过数学证明和推导得到。需要注意的是,在实际应用中,$LU$ 分解可以用来解线性方程组,因为解 $Ax=b$ 可以转化为解 $LUx=b$ 和 $Ux=y$,这两个方程组都比较容易求解。
相关问题
如何判断一个矩阵是否为正定矩阵?
判断一个矩阵是否为正定矩阵的方法有多种,其中最有效的方法是使用 Cholesky 分解。具体步骤如下:
1. 对矩阵进行 Cholesky 分解,得到下三角矩阵 L。
2. 如果分解失败,则矩阵不是正定矩阵。
3. 如果分解成功,则判断 L 是否为对角线元素均为正数的下三角矩阵。
4. 如果是,则矩阵为正定矩阵;如果不是,则矩阵不是正定矩阵。
除了 Cholesky 分解外,还有其他方法可以判断一个矩阵是否为正定矩阵,例如特征值分解和Sylvester判别准则等。但是这些方法的计算复杂度较高,不如 Cholesky 分解方法高效。
matlab怎么把非正定的转化为正定矩阵
在MATLAB中,可以通过多种方法将非正定矩阵转化为正定矩阵。以下是其中几种常用的方法:
1. Cholesky分解:非正定矩阵可以通过Cholesky分解来转化为正定矩阵。Cholesky分解可以将一个正定矩阵表示为下三角矩阵的转置乘以其共轭。在MATLAB中,可以使用`chol()`函数进行Cholesky分解,并根据需要将负特征值转化为零。
2. 最小二乘法:可以使用最小二乘法来转化非正定矩阵为正定矩阵。该方法通过在非正定矩阵中添加适当的正定修正项,使其变为正定矩阵。具体方法可以通过求解minimize函数来实现。在MATLAB中,可以使用`lsqnonneg()`函数进行最小二乘法计算。
3. 特征值修正:非正定矩阵的特征值修正是将非正定矩阵的负特征值用一个正数来替代,使得矩阵变为正定矩阵。在MATLAB中,可以使用`eig()`函数计算矩阵的特征值,并使用`max()`函数确定最大特征值的绝对值,然后对矩阵进行修正。
这些方法可以根据具体问题的要求和非正定矩阵的性质来选择。需要注意的是,这些方法只能将非正定矩阵转化为正定矩阵,但可能会改变矩阵的其他性质。
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