MATLAB矩阵求逆的特殊情况：对称矩阵与正定矩阵

# 1. MATLAB矩阵求逆概述

矩阵求逆是线性代数中的一项基本运算，在MATLAB中可以通过多种方法实现。矩阵求逆的目的是找到一个新的矩阵，使其与原矩阵相乘后得到单位矩阵。单位矩阵是一个对角线元素为1，其他元素为0的方阵。

矩阵求逆在实际应用中有着广泛的用途，例如：

- 求解线性方程组
- 数据拟合和回归分析
- 图像处理
- 控制系统设计

# 2. 对称矩阵的求逆

### 2.1 对称矩阵的性质

对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置等于自身，即 $A = A^T$。对称矩阵具有以下性质：

- **实特征值：**对称矩阵的所有特征值都是实数。
- **正交特征向量：**对称矩阵的特征向量正交，即 $v_i^T v_j = 0$，其中 $i \neq j$。
- **对角化：**对称矩阵可以对角化为一个由其特征值组成的对角矩阵。

### 2.2 对称矩阵求逆的特殊方法

利用对称矩阵的性质，我们可以采用以下特殊方法求逆：

#### Cholesky 分解

Cholesky 分解将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置，即 $A = LL^T$。如果 $A$ 是对称正定矩阵，则其 Cholesky 分解唯一存在。

**求解步骤：**

1. 初始化 $L$ 为一个与 $A$ 同阶的零矩阵。
2. 对于 $i$ 从 1 到 $n$：
- 计算 $L_{ii} = \sqrt{A_{ii} - \sum_{j=1}^{i-1} L_{ij}^2}$。
- 对于 $j$ 从 $i+1$ 到 $n$：
- 计算 $L_{ij} = \frac{1}{L_{ii}} (A_{ij} - \sum_{k=1}^{i-1} L_{ik} L_{kj})$。
3. 返回 $L$。

**代码块：**

function L = cholesky(A)
    n = size(A, 1);
    L = zeros(n);
    for i = 1:n
        L(i, i) = sqrt(A(i, i) - sum(L(i, 1:i-1).^2));
        for j = i+1:n
            L(j, i) = (1 / L(i, i)) * (A(j, i) - sum(L(j, 1:i-1) .* L(i, 1:i-1)));
        end
    end
end

**逻辑分析：**

该代码实现了 Cholesky 分解算法。它使用一个嵌套循环来计算下三角矩阵 $L$ 的元素。

#### QR 分解

QR 分解将一个矩阵分解为一个正交矩阵 $Q$ 和一个上三角矩阵 $R$，即 $A = QR$。对于对称正定矩阵，其 QR 分解唯一存在。

**求解步骤：**

1. 初始化 $Q$ 为一个与 $A$ 同阶的单位矩阵。
2. 对于 $i$ 从 1 到 $n$：
- 计算 $v_i$ 为 $A$ 的第 $i$ 列。
- 对于 $j$ 从 1 到 $i-1$：
- 计算 $w_{ij} = Q_j^T v_i$。
- 计算 $v_i = v_i - w_{ij} Q_j$。
- 计算 $Q_i = \frac{v_i}{\|v_i\|}$。
- 计算 $R_{ii} = \|v_i\|$。
- 对于 $j$ 从 $i+1$ 到 $n$：
- 计算 $R_{ij} = Q_i^T A_j$。
3. 返回 $Q$ 和 $R$。

**代码块：**

function [Q, R] = qr(A)
    n = size(A, 1);
    Q = eye(n);
    for i = 1:n
        v = A(:, i);
        for j = 1:i-1
            w = Q(:, j)' * v;
            v = v - w * Q(: