对称矩阵和反对称矩阵的性质

对称矩阵和反对称矩阵是两类特殊的矩阵，它们具有以下性质：

1. 对称矩阵：如果一个矩阵A的转置矩阵等于它本身，即A^T=A，则称A为对称矩阵。对称矩阵的主对角线上的元素都是实数，且对称矩阵是实对称矩阵。对称矩阵的特征值都是实数，且特征向量可以正交归一化。

2. 反对称矩阵：如果一个矩阵A的转置矩阵的相反数等于它本身，即A^T=-A，则称A为反对称矩阵。反对称矩阵的主对角线上的元素都为0，且反对称矩阵是纯虚矩阵。反对称矩阵的特征值都是纯虚数或0。

3. 对于任意矩阵A和B，有(A+B)的转置矩阵等于A的转置矩阵加上B的转置矩阵，即(A+B)^T=A^T+B^T。

4. 对于任意矩阵A和B，有(AB)的转置矩阵等于B的转置矩阵乘以A的转置矩阵，即(AB)^T=B^T*A^T。

5. 对于任意对称矩阵A和任意反对称矩阵B，有A*B和B*A都是反对称矩阵。

6. 对于任意对称矩阵A和任意反对称矩阵B，有A+B是不对称矩阵。

相关问题

对称矩阵有哪些性质？

对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身的矩阵。它具有以下性质：

1. 对称性：对称矩阵的元素关于主对角线对称，即第i行第j列的元素等于第j行第i列的元素。

2. 实对称性：如果对称矩阵的元素都是实数，则称其为实对称矩阵。

3. 特征值为实数：对称矩阵的特征值都是实数。

4. 特征向量正交：对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。

5. 对角化：对称矩阵可以通过正交相似变换对角化，即可以表示为对角矩阵的形式。

6. 主对角线上的元素都是实数：对称矩阵的主对角线上的元素都是实数。

7. 对称矩阵的秩等于非零特征值的个数。

不对称矩阵分解matlab

在Matlab中，可以使用函数`eig`来进行对称矩阵的特征值分解。然而，对于非对称矩阵的分解，可以使用函数`eig`来计算其特征值，并使用函数`eigenvectors`来计算相应的特征向量。

下面是一个示例代码，展示了如何对一个非对称矩阵进行特征值分解：

A = [1, 2; 3, 4]; % 非对称矩阵
[V, D] = eig(A); % 计算特征向量和特征值

% V 是特征向量矩阵，D 是特征值矩阵

上述代码中，`A`是一个2x2的非对称矩阵。通过调用`eig`函数，将返回一个包含`A`的特征向量矩阵`V`和特征值矩阵`D`的结果。

请注意，对于非对称矩阵的特征值分解，特征向量可能并不是正交的。