为了证明 $T$ 是自共轭的，我们需要证明对于所有 $f, g \in L^2[0,1]$，有 $\langle Tf, g \rangle = \langle f, Tg \rangle$，其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 表示 $L^2[0,1]$ 上的内积。 首先，我们有： $$ \begin{aligned} \langle Tf, g \rangle &= \int_0^1 (Tx)(t) g(t) dt \ &= \int_0^1 tx(t) g(t) dt \ &= \int_0^1 t\overline{g(t)} \overline{x(t)} dt \ &= \int_0^1 \overline{Tg}(t) \overline{f(t)} dt \ &= \langle f, Tg \rangle \end{aligned} $$ 其中第二个等式使用了 $T$ 的定义，第三个等式使用了 $f$ 和 $g$ 的复共轭，以及交换了积分顺序，最后一个等式使用了 $T$ 的定义和内积的线性性。 因此，我们得到 $\langle Tf, g \rangle = \langle f, Tg \rangle$，即 $T$ 是自共轭的。 为了证明 $T$ 是有界的，我们可以利用 Hölder 不等式和 $L^2[0,1]$ 的范数定义： $$ \begin{aligned} |Tx|{L^2[0,1]}^2 &= \int_0^1 |tx(t)|^2 dt \ &\leq \left(\int_0^1 |t|^2 dt\right) \left(\int_0^1 |x(t)|^2 dt\right) \ &= \frac{1}{3} |x|{L^2[0,1]}^2 \end{aligned} $$ 因此，$|T| \leq \sqrt{\frac{1}{3}} < \infty$，即 $T$ 是有界的。 综上所述，$T$ 是自共轭的有界线性算子。帮我翻译一下

为了证明 $T$ 是自共轭的，我们需要证明对于所有 $f, g \in L^2[0,1]$，有 $\langle Tf, g \rangle = \langle f, Tg \rangle$，其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 表示 $L^2[0,1]$ 上的内积。

首先，我们有：

$$
\begin{aligned}
\langle Tf, g \rangle &= \int_0^1 (Tx)(t) g(t) dt \\
&= \int_0^1 tx(t) g(t) dt \\
&= \int_0^1 t\overline{g(t)} \overline{x(t)} dt \\
&= \int_0^1 \overline{Tg}(t) \overline{f(t)} dt \\
&= \langle f, Tg \rangle
\end{aligned}
$$

其中第二个等式使用了 $T$ 的定义，第三个等式使用了 $f$ 和 $g$ 的复共轭，以及交换了积分顺序，最后一个等式使用了 $T$ 的定义和内积的线性性。 因此，我们得到 $\langle Tf, g \rangle = \langle f, Tg \rangle$，即 $T$ 是自共轭的。

为了证明 $T$ 是有界的，我们可以利用 Hölder 不等式和 $L^2[0,1]$ 的范数定义：

$$
\begin{aligned}
|Tx|^2_{L^2[0,1]} &= \int_0^1 |tx(t)|^2 dt \\
&\leq \left(\int_0^1 |t|^2 dt\right) \left(\int_0^1 |x(t)|^2 dt\right) \\
&= \frac{1}{3} |x|^2_{L^2[0,1]}
\end{aligned}
$$

因此，$|T| \leq \sqrt{\frac{1}{3}} < \infty$，即 $T$ 是有界的。

综上所述，$T$ 是自共轭的有界线性算子。