24. 设T: L²0,1]一 L²[0,1]由(Tx)(t)=tx(t)定义,证明T 是自共轭的有界线性算子
时间: 2023-12-06 22:44:06 浏览: 21
为了证明 $T$ 是自共轭的,我们需要证明对于所有 $f, g \in L^2[0,1]$,有 $\langle Tf, g \rangle = \langle f, Tg \rangle$,其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 表示 $L^2[0,1]$ 上的内积。
首先,我们有:
$$
\begin{aligned}
\langle Tf, g \rangle &= \int_0^1 (Tx)(t) g(t) dt \\
&= \int_0^1 tx(t) g(t) dt \\
&= \int_0^1 t\overline{g(t)} \overline{x(t)} dt \\
&= \int_0^1 \overline{Tg}(t) \overline{f(t)} dt \\
&= \langle f, Tg \rangle
\end{aligned}
$$
其中第二个等式使用了 $T$ 的定义,第三个等式使用了 $f$ 和 $g$ 的复共轭,以及交换了积分顺序,最后一个等式使用了 $T$ 的定义和内积的线性性。
因此,我们得到 $\langle Tf, g \rangle = \langle f, Tg \rangle$,即 $T$ 是自共轭的。
为了证明 $T$ 是有界的,我们可以利用 Hölder 不等式和 $L^2[0,1]$ 的范数定义:
$$
\begin{aligned}
\|Tx\|_{L^2[0,1]}^2 &= \int_0^1 |tx(t)|^2 dt \\
&\leq \left(\int_0^1 |t|^2 dt\right) \left(\int_0^1 |x(t)|^2 dt\right) \\
&= \frac{1}{3} \|x\|_{L^2[0,1]}^2
\end{aligned}
$$
因此,$\|T\| \leq \sqrt{\frac{1}{3}} < \infty$,即 $T$ 是有界的。
综上所述,$T$ 是自共轭的有界线性算子。