c++统计比较三种级数达到相同精度所用的项数
时间: 2023-12-03 09:22:06 浏览: 27
假设三种级数分别为 $S_1,S_2,S_3$,精度要求为 $\epsilon$,则可以先计算出每种级数的通项公式,然后根据误差公式 $|R_n| \leq |a_{n+1}|$,计算出每种级数需要的项数 $n_1,n_2,n_3$,满足 $|R_{n_i}| \leq \epsilon$。具体的计算方法如下:
1. 对于调和级数 $S_1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$,其通项公式为 $a_n = \frac{1}{n}$。根据误差公式 $|R_n| \leq |a_{n+1}| = \frac{1}{n+1}$,则要求 $|R_{n_1}| \leq \epsilon$,需要满足 $\frac{1}{n_1+1} \leq \epsilon$,解得 $n_1 \geq \frac{1}{\epsilon} - 1$,取 $\lceil \frac{1}{\epsilon} - 1 \rceil$ 作为最终的项数。
2. 对于几何级数 $S_2 = \sum_{n=0}^{\infty} a^n$,其通项公式为 $a_n = a^n$,其中 $|a| < 1$。根据误差公式 $|R_n| \leq |a_{n+1}| = a^{n+1}$,则要求 $|R_{n_2}| \leq \epsilon$,需要满足 $a^{n_2+1} \leq \epsilon$,取对数得 $(n_2+1)\ln a \leq \ln \epsilon$,解得 $n_2 \geq \frac{\ln \epsilon}{\ln a} - 1$,取 $\lceil \frac{\ln \epsilon}{\ln a} - 1 \rceil$ 作为最终的项数。
3. 对于调和级数的平方 $S_3 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$,其通项公式为 $a_n = \frac{1}{n^2}$。根据误差公式 $|R_n| \leq |a_{n+1}| = \frac{1}{(n+1)^2}$,则要求 $|R_{n_3}| \leq \epsilon$,需要满足 $\frac{1}{(n_3+1)^2} \leq \epsilon$,解得 $n_3 \geq \sqrt{\frac{1}{\epsilon}} - 1$,取 $\lceil \sqrt{\frac{1}{\epsilon}} - 1 \rceil$ 作为最终的项数。
综上所述,调和级数需要的项数为 $\lceil \frac{1}{\epsilon} - 1 \rceil$,几何级数需要的项数为 $\lceil \frac{\ln \epsilon}{\ln a} - 1 \rceil$,调和级数的平方需要的项数为 $\lceil \sqrt{\frac{1}{\epsilon}} - 1 \rceil$。