如何求解一条直线在一个被划分为无数网格的三维图形中经过了哪些网格?
时间: 2024-06-06 14:06:58 浏览: 14
假设直线的起点为 $(x_0,y_0,z_0)$,终点为 $(x_1,y_1,z_1)$。我们可以采用光线追踪的方法,从起点沿着直线发射一条光线,通过对每个网格进行求交,来确定直线经过的网格。
具体操作步骤如下:
1. 定义光线
光线的起点为 $(x_0,y_0,z_0)$,方向向量为 $(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0)$。将方向向量单位化,得到 $(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$。则光线的参数方程为:
$$\begin{cases}x=x_0+t\Delta x\\y=y_0+t\Delta y\\z=z_0+t\Delta z\end{cases}$$
其中 $t$ 为参数,表示光线上的任意一点。
2. 求解光线和每个网格的交点
对于每个网格,我们可以用一个边长为 $1$ 的立方体来表示。设该网格的坐标为 $(i,j,k)$,则该立方体的顶点坐标为:
$$(i,j,k),(i+1,j,k),(i,j+1,k),(i,j,k+1),(i+1,j+1,k),(i+1,j,k+1),(i,j+1,k+1),(i+1,j+1,k+1)$$
我们可以分别求解光线和这些顶点的交点,然后判断光线是否穿过了该立方体。
求解光线和顶点的交点,我们可以将光线的参数方程代入顶点的坐标,得到一个方程组:
$$\begin{cases}x=x_0+t\Delta x\\y=y_0+t\Delta y\\z=z_0+t\Delta z\end{cases}=\begin{cases}i\\j\\k\end{cases}$$
解出 $t$ 的值,代入光线的参数方程,得到该顶点和光线的交点坐标,记为 $(x',y',z')$。
判断光线是否穿过该立方体,可以通过判断交点坐标是否在立方体的内部。我们可以通过判断交点坐标的整数部分是否等于 $(i,j,k)$ 来实现。如果是,则光线穿过了该立方体。
3. 确定直线经过的网格
对于每个网格,如果光线穿过了该立方体,则直线经过了该网格。我们可以将经过的网格的坐标存储到一个集合中,最终返回该集合即可。
需要注意的是,如果直线沿着某个轴方向前进,可能会与某些网格的边界重合,导致无法正确判断直线是否穿过该网格。为了解决这个问题,我们可以将光线的起点坐标和终点坐标都向内移动一个小量 $\epsilon$,这样可以避免光线恰好与网格的边界重合的情况。