判别无向图两顶点之间是否存在一条长度为k的路径

判别无向图两顶点之间是否存在一条长度为k的路径需要使用图论中的算法。首先，可以使用深度优先搜索或者广度优先搜索来遍历图中的每个节点，获取到所有的路径。

然后，可以使用动态规划的方法来解决问题。假设f(i,j,k)表示从节点i到节点j的长度为k的路径中，节点j的前一个节点为n，即f(i,j,k)=f(i,n,k-1)。这个状态转移方程可以递归地计算出所有的f(i,j,k)，当f(i,j,k)的值大于0时，表示从节点i到节点j存在一条长度为k的路径。

除了动态规划，还可以使用矩阵快速幂算法来处理这个问题。假设M是图的邻接矩阵，M^k表示M的k次方，其中M[i][j]表示节点i与节点j之间是否存在一条边。当M^k[i][j]=1时，表示节点i到节点j存在一条长度为k的路径。

总之，判别无向图两顶点之间是否存在一条长度为k的路径，需要使用图论中的算法，比如深度优先搜索、广度优先搜索、动态规划或者矩阵快速幂算法。通过这些算法，可以高效地求解问题。

相关问题

采用邻接表存储结构，编写一个判别无向图中任意给定的两个顶点之间是否存在一条长度为k的简单路径的算法 c语言

以下是采用深度优先搜索算法实现的判别无向图中任意给定的两个顶点之间是否存在一条长度为k的简单路径的算法。其中，邻接表存储结构使用了结构体数组和链表。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_VERTEX_NUM 100 // 最大顶点数
#define FALSE 0
#define TRUE 1

typedef struct ArcNode { // 邻接表中边结点的类型
    int adjvex; // 该边所指向的顶点的位置
    struct ArcNode *nextarc; // 指向下一条边的指针
} ArcNode;

typedef struct VertexNode { // 邻接表中顶点结点的类型
    int data; // 顶点信息
    ArcNode *firstarc; // 指向第一条依附该顶点的边的指针
} VertexNode;

typedef struct { // 邻接表的类型
    VertexNode vertices[MAX_VERTEX_NUM]; // 顶点数组
    int vexnum, arcnum; // 图的当前顶点数和边数
} ALGraph;

int visited[MAX_VERTEX_NUM]; // 访问标志数组

// 创建邻接表
void CreateALGraph(ALGraph *G) {
    int i, j, k;
    ArcNode *p;
    printf("请输入顶点数和边数（空格隔开）：");
    scanf("%d %d", &G->vexnum, &G->arcnum);
    for (i = 0; i < G->vexnum; ++i) {
        printf("请输入第%d个顶点信息：", i + 1);
        scanf("%d", &G->vertices[i].data);
        G->vertices[i].firstarc = NULL;
    }
    for (k = 0; k < G->arcnum; ++k) {
        printf("请输入边（vi，vj）的下标i和j及其边权值w（空格隔开）：");
        scanf("%d %d", &i, &j);
        p = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));
        p->adjvex = j;
        p->nextarc = G->vertices[i].firstarc;
        G->vertices[i].firstarc = p;
        p = (ArcNode *)malloc(sizeof(ArcNode));
        p->adjvex = i;
        p->nextarc = G->vertices[j].firstarc;
        G->vertices[j].firstarc = p;
    }
}

// 深度优先搜索算法
int DFS(ALGraph *G, int v, int w, int k) {
    int flag = FALSE;
    if (k == 0) { // 到达目标深度
        if (v == w) // 判断是否为目标顶点
            flag = TRUE;
    } else {
        visited[v] = TRUE; // 将当前顶点标记为已访问
        ArcNode *p = G->vertices[v].firstarc;
        while (p && !flag) { // 遍历当前顶点的所有邻接顶点
            if (!visited[p->adjvex]) // 如果邻接顶点未被访问过
                flag = DFS(G, p->adjvex, w, k - 1);
            p = p->nextarc;
        }
        visited[v] = FALSE; // 恢复当前顶点的未访问状态
    }
    return flag;
}

// 判断无向图中任意给定的两个顶点之间是否存在一条长度为k的简单路径的算法
int ExistSimplePath(ALGraph *G, int u, int v, int k) {
    int i;
    if (u < 0 || u >= G->vexnum || v < 0 || v >= G->vexnum) // 判断输入的顶点是否合法
        return FALSE;
    if (k <= 0) // 判断输入的深度是否合法
        return FALSE;
    for (i = 0; i < G->vexnum; ++i)
        visited[i] = FALSE; // 初始化访问标志数组
    return DFS(G, u, v, k); // 判断是否存在一条长度为k的简单路径
}

int main() {
    ALGraph G;
    CreateALGraph(&G);
    int u, v, k;
    printf("请输入要判断的两个顶点u和v以及路径长度k（空格隔开）：");
    scanf("%d %d %d", &u, &v, &k);
    if (ExistSimplePath(&G, u, v, k))
        printf("存在一条长度为%d的简单路径从顶点%d到顶点%d\n", k, u, v);
    else
        printf("不存在一条长度为%d的简单路径从顶点%d到顶点%d\n", k, u, v);
    return 0;
}

在上述算法中，先通过CreateALGraph函数建立无向图的邻接表，然后在ExistSimplePath函数中对给定的两个顶点u和v以及路径长度k进行判断。接着，在DFS函数中实现了深度优先搜索算法，其中visited数组用于标记顶点是否被访问过，p指针用于遍历当前顶点的所有邻接顶点。最后，根据DFS函数的返回结果，判断是否存在一条长度为k的简单路径。

采用邻接表存储结构，编写一个判别无向图中任意给定的两个顶点之间是否存在一条长度为k的简单路径的算法。

### 回答1：
可以使用如下的算法来判断两个顶点之间是否存在一条简单路径，其路径长度为k：

1. 对于每个顶点v，建立一个长度为k的布尔型数组reachable[v]，并将其初始化为false。
2. 对于起点顶点u，将reachable[u]的第0个元素设置为true。
3. 重复k次以下步骤：
a. 对于每个顶点v，如果reachable[v]的第i-1个元素为true，则将v的邻居w的reachable[w]的第i个元素设置为true。
4. 对于终点顶点v，如果reachable[v]的第k个元素为true，则存在一条简单路径，其路径长度为k。

上述算法的时间复杂度为O(km)，其中m为图的边数。

### 回答2：
首先，邻接表是一种常见的图存储结构，它将每个顶点和和它相邻的边都存储在一个链表中，可以比较方便的描述图的结构。邻接表描述的无向图可以用一个包含n个链表的数组Adj[1...n]表示，其中每个链表表示一个节点和与它相连的边。

对于判别无向图中任意给定的两个顶点u和v之间是否存在一条长度为k的简单路径，我们可以采用深度优先搜索（DFS）来完成。具体算法如下：

1. 初始化visited数组，表示各个节点是否被访问过的状态，初始值设为false。

2. 以u为起点，从图中找到与它相连的节点，如果其中有节点为v，直接返回true。

3. 将u节点设置为已访问，再以u为起点继续进行深度优先搜索，找到所有与u相连的未访问节点。

4. 对于每个未访问节点，将其设置为已访问状态，计算从u到该节点的距离，并检查该节点是否与v连通，如果是则返回true。

5. 如果k>1，则在邻接表中继续深度优先搜索，以该节点为起点，重复2-4步骤，直到长度为k，如果找到与v连通的节点，返回true。

6. 如果以上所有步骤都没有找到v，返回false。

需要注意的是，在进行深度优先搜索时，需要将已访问的节点以及当前长度作为参数传递，同时剪枝以避免重复访问。如果存在环路，可能会导致死循环，因此也需要考虑环的情况。

最后，时间复杂度取决于深度优先搜索的次数，即O(n^k)，空间复杂度为O(n)，其中n为节点数。

### 回答3：
邻接表是一种基于链式存储结构的图的存储方式，通过单链表将每个顶点的邻边存储起来，使得图在存储空间和遍历效率方面具有较好的优势。题目需求为判别无向图中任意给定的两个顶点之间是否存在一条长度为k的简单路径的算法，下面是一个基于邻接表的解法。

步骤：

1. 根据邻接表存储结构，读取给定两个顶点 v1 和 v2 的邻接表。

2. 定义二维数组 visit_k 用于存储从 v1 到 v2 的长度为 k 的简单路径是否存在，其中 visit_k[i][j] 表示从 v1 到 v2 的长度为 k 的路径是否存在，若存在则 visit_k[i][j] 为真，否则为假。

3. 初始化 visit_k 数组，当 i=1 时，visit_k[v1][v2] 等于邻接表中 v1 的所有相邻点中是否存在 v2；否则需要递归遍历所有满足 visit_k[i-1][j] 为真的顶点 j，查找 j 的相邻点中是否存在 v2，若存在则 visit_k[i][j] 为真。

4. 当 visit_k[k][v2] 为真时，说明存在从 v1 到 v2 的长度为 k 的简单路径，输出存在路径的提示，结束算法；否则输出不存在路径的提示。

代码实现：

bool isExistedPath(vertex v1, vertex v2, int k) {
    if (v1 == v2 && k == 0) return true;  // 起点和终点相同且存在长度为0的路径，返回真
    if (k == 1) {  // 当 k=1 时，判断 v1 的邻接点中是否存在 v2
        for (edge* p = adjL[v1]; p != nullptr; p = p -> next) {
            if (p -> adjVex == v2) {
                return true;  // 存在从 v1 到 v2 的长度为1的路径
            }
        }
    }
    else if (k > 1) {  // 当 k>1 时，需要递归查找长度为 k-1 的路径
        bool** visit_k = new bool*[numVertex];  // 创建 visit_k 数组
        for (int i = 0; i < numVertex; ++i) {
            visit_k[i] = new bool[numVertex];
            for (int j = 0; j < numVertex; ++j) {
                visit_k[i][j] = false;
            }
        }

        for (edge* p = adjL[v1]; p != nullptr; p = p -> next) {
            visit_k[p -> adjVex][v2] = true;  // 将长度为1的路径标记为真
        }

        for (int i = 2; i <= k; ++i) {
            for (int j = 0; j < numVertex; ++j) {
                if (visit_k[v1][j]) {  // 若 visit_k[i-1][j] 为真，遍历 j 的相邻点
                    for (edge* p = adjL[j]; p != nullptr; p = p -> next) {
                        visit_k[v1][p -> adjVex] = true;  // 将 visit_k[i][j] 标记为真
                    }
                }
            }
        }

        bool result = visit_k[v1][v2];
        for (int i = 0; i < numVertex; ++i) {
            delete[] visit_k[i];
        }
        delete[] visit_k;

        return result;  // 返回 visit_k[k][v2] 的值
    }

    return false;  // 其他情况均返回假
}