最长上升子序列c++

### 回答1：
最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）是指一个序列中最长的严格递增子序列的长度。以下是 C++ 实现 LIS 的示例代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    vector<int> nums = {10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18};
    vector<int> dp(nums.size(), 1); // dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长上升子序列长度
    int res = 1; // 记录最大长度

    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1); // 状态转移方程
            }
        }
        res = max(res, dp[i]);
    }

    cout << res << endl; // 输出最长上升子序列长度
    return 0;
}

该代码的时间复杂度为 O(n^2)，可以通过二分查找优化到 O(nlogn)。

### 回答2：
最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence）是指在一个给定序列中，找出一个最长的子序列使得子序列中的元素按照顺序递增。给定一个长度为n的序列A，最长上升子序列的长度可以通过动态规划的方法求解。

假设dp[i]表示以第i个元素结尾的最长上升子序列的长度，那么状态转移方程可以定义为：
dp[i] = max(dp[j] + 1), 其中0 <= j < i，A[j] < A[i]

首先，初始化dp数组为1，表示每个元素本身就构成一个长度为1的最长上升子序列。

然后，从左往右遍历数组A，对于每个元素A[i]，遍历之前的所有元素A[j]（j<i），如果A[j] < A[i]，则更新dp[i]为dp[j]+1。

最后，返回dp数组中的最大值即为最长上升子序列的长度。

举个例子，给定序列A=[3, 10, 2, 1, 20]，首先初始化dp数组为[1, 1, 1, 1, 1]。

遍历到元素10时，与3比较，满足条件A[j] < A[i]，更新dp[1]为dp[0]+1，得到dp=[1, 2, 1, 1, 1]。

再遍历到元素2时，与3和10比较，均不满足条件，不更新dp数组，得到dp=[1, 2, 1, 1, 1]。

继续遍历到元素1时，与3、10和2比较，满足条件A[j] < A[i]，更新dp[3]为dp[2]+1，得到dp=[1, 2, 1, 2, 1]。

最后遍历到元素20时，与3、10、2和1比较，均满足条件，更新dp[4]为dp[3]+1，得到dp=[1, 2, 1, 2, 3]。

返回dp数组中的最大值3，即为最长上升子序列的长度。

综上所述，利用动态规划可以求解最长上升子序列的长度。

### 回答3：
最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）是指在一个给定序列中，找到一个最长的子序列，使得这个子序列中的元素按照严格递增的顺序排列。

设序列为a[1…n]，定义dp[i]为以a[i]结尾的LIS的长度。那么转移方程可以表示为：dp[i] = max{dp[j] + 1 | 1 ≤ j < i, a[j] < a[i]}。

根据状态转移方程，我们需要遍历所有小于i的j，找到能够构成最长上升子序列的j，从而更新dp[i]。可以使用动态规划的思路，通过一个辅助数组dp来记录每个位置的最长上升子序列长度。

具体实现上，我们可以使用两个循环来遍历序列a，外层循环从1到n，内层循环从1到i。在内层循环中，比较a[j]和a[i]的大小，若满足条件则更新dp[i]为较大值。

最后，我们只需要遍历dp数组中的最大值，即为最长上升子序列的长度。

例如，对于序列c = [1, 3, 5, 2, 4, 6, 7]，通过使用动态规划的方法，我们可以得到dp = [1, 2, 3, 2, 3, 4, 5]。最长上升子序列的长度为5。

最长上升子序列问题是一个经典的动态规划问题，它的时间复杂度为O(n^2)。同时，还存在更优化的解法，比如使用二分查找加速查找过程，将时间复杂度优化为O(nlogn)。