动态规划解析:最长上升子序列与最长公共子序列
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更新于2024-08-13
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"该资源主要讲述了动态规划在解决子序列问题中的应用,特别是最长公共子序列(LCS)和最长上升子序列(LIS)。"
在动态规划领域,子序列问题是一个常见的主题。动态规划是一种通过将复杂问题分解为更小的子问题来求解的方法,它利用已解决的子问题的最优解来构建原问题的最优解。本文主要关注两个子序列问题:最长公共子序列和最长上升子序列。
一、最长公共子序列(LCS)
LCS问题是寻找两个给定序列的最长子序列,这个子序列不必连续,但必须保持原序。解决这个问题的关键在于最优子结构和重叠子问题。
1. 最优子结构:问题的最优解可以通过其子问题的最优解组合得出。在LCS问题中,如果两个序列的某个位置的字符相同,那么最优解包括这个字符;如果不同,则可以从不包含这个字符的两个子序列中选择较长的一个。
2. 重叠子问题:LCS问题中有许多相同的子问题被重复计算,这使得动态规划成为理想的解决方案。通过记忆化技术,我们可以存储已经计算过的子问题结果,避免重复计算。
3. 程序实现:通常使用二维数组`dp[i][j]`表示两个序列到当前位置的LCS长度。递推公式是`dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1] + (x[i] == y[j]), max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]))`。通过自底向上的方式计算,可以使用滚动数组减少空间复杂度。
4. 空间优化:当只关心最终结果时,可以使用滚动数组仅保留相邻两行,甚至仅保留一行,大大减少了空间需求。
5. 初始化:在初始化`dp`数组时,需要正确处理边界情况,例如当一个序列为空时,LCS长度为0。
二、最长上升子序列(LIS)
LIS问题寻找一个序列的最长子序列,使得子序列中的元素严格递增。它的解决方法与LCS类似,但不考虑字符匹配,而是关注元素的大小关系。
1. 解题分析:LIS问题同样具备最优子结构和重叠子问题特性,可以通过动态规划解决。一般使用单调栈或二分查找优化的动态规划方法,时间复杂度可达到O(n log n)。
2. 示例题目:文中给出了两个LCS相关的编程题目,分别是HDU1159和PKU1936,这两个题目都可以通过应用LCS的基本思想来解决。
3. 代码示例:给出的代码片段是C++实现的LCS解法,使用了二维数组`dp`来存储中间结果,并定义了辅助函数`max`来比较两个整数。
总结,动态规划在解决子序列问题时,通过最优子结构和重叠子问题的特性,能够有效地找到序列的最长公共子序列和最长上升子序列。在实际编程中,要注意空间优化和初始化策略,以提高算法的效率和正确性。
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杜浩明
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