动态规划解决最长递增子序列问题详解

本文主要探讨的是二最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）问题，这是一个经典的动态规划(DP)问题，尤其与最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）相对应。LIS的问题设定是给定一个由n个不同实数构成的序列，目标是找到这个序列中最长的递增子序列的长度，即找出最大可能的m值。 动态规划在解决这类问题时，首先依赖于两个关键点：最优子结构和重叠子问题。最优子结构意味着问题的最优解可以通过其子问题的最优解组合得到，而LIS问题中，找到当前元素能加入的最大递增子序列，就涉及到了这个问题。重叠子问题则是指同一个问题在不同的状态之间可能会重复出现，例如，在寻找所有可能的子序列时，多个子问题会涉及到相同的子问题部分。 动态规划通常采用自底向上的递推策略来求解，通过定义状态转移方程来逐步构建最终解。在LIS问题中，可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示以第i个元素结尾的最大递增子序列长度，当i不等于j时，状态转移方程可能涉及dp[i-1][j]、dp[i][j-1]以及dp[i-1][j-1]。为了优化空间使用，可以采用滚动数组或者只保留一行的状态，通过变量x记录上一行的信息，进一步降低空间复杂度至O(min{m,n})。 动态规划的初始化对于正确解决问题至关重要，包括对边界条件的处理和初始状态的设置。文章提到的两个具体实例，如HDU1159和PKU1936，都是LCS问题的变种，通过分析它们的代码可以看到如何将LCS问题应用到实际解题中，尽管表面上可能有些“水掉”的感觉，但实际解法还是基于动态规划的思路。 总结来说，二最长递增子序列问题通过动态规划有效地解决了在给定序列中找到最长递增子序列的长度，它展示了动态规划如何利用最优子结构和重叠子问题的特性，通过递推策略来求解，并且在实际编程中提供了代码示例以帮助理解。理解并掌握这个问题有助于提升对动态规划在序列问题中的应用能力。