特征值特征向量如何计算

对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，如果存在一个非零向量 $\mathbf{x}$，使得 $A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$，其中 $\lambda$ 是一个标量，那么 $\lambda$ 被称为 $A$ 的一个特征值（eigenvalue），$\mathbf{x}$ 被称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量（eigenvector）。

特征值和特征向量可以通过以下步骤计算：

1. 计算矩阵 $A - \lambda I$ 的行列式，其中 $\lambda$ 是一个待定的特征值，$I$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵。即计算 $|A - \lambda I|$ 的值。

2. 求解 $|A - \lambda I| = 0$，得到特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$。

3. 对于每个特征值 $\lambda_i$，求解线性方程组 $(A - \lambda_i I) \mathbf{x} = \mathbf{0}$，得到特征向量 $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_n$。

在实际计算中，通常使用 NumPy 提供的 `numpy.linalg.eig` 函数来计算矩阵的特征值和特征向量。具体用法如下：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [2, 1]])
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

其中，`A` 是一个 $2 \times 2$ 的矩阵，`eigenvalues` 是一个包含矩阵 $A$ 的特征值的一维数组，`eigenvectors` 是一个 $2 \times 2$ 的矩阵，每一列是矩阵 $A$ 的对应于特征值的特征向量。