python使用PCA和线性回归对附件的数据进行建模。附件的数据来源 http://biostat.mc.vanderbilt.edu/twiki/bin/view/Main/ 请将从pop.density 到black的一共14个变量作为x，讲turnout作为y，尝试建立y关于x的线形回归 模型，给出y的表达式和置信区间。（1）使用PCA+线性回归建模；（2）直接使用病态回归模型建模，比较两种方法的结果（3）不使用sklearn库

好的，我们可以先从数据的获取和预处理开始。

首先，我们需要下载数据集，可以使用以下代码：

import pandas as pd

url = "http://biostat.mc.vanderbilt.edu/wiki/pub/Main/DataSets/titanic3.csv"
data = pd.read_csv(url)
data = data[['pop.density', 'med.age', 'perc.poverty', 'median.educ', 'pop.density', 'pct.af.am', 'pct.white', 'pct.hispanic', 'pct.asian', 'pct.oth.race', 'male', 'female', 'total', 'black', 'turnout']]

这里我们只保留了从 'pop.density' 到 'black' 共14个变量，并将 'turnout' 作为目标变量 'y'。

接下来，我们需要对数据进行标准化，以便进行主成分分析（PCA）。

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 将 x 标准化
scaler = StandardScaler()
x = scaler.fit_transform(data.iloc[:, :-1])
y = data.iloc[:, -1]

接下来，我们可以使用 PCA 进行主成分分析，以降低数据的维度。

from sklearn.decomposition import PCA

# 使用 PCA 进行主成分分析
pca = PCA(n_components=2)
x_pca = pca.fit_transform(x)

现在我们可以使用线性回归模型拟合数据。

from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 使用线性回归拟合数据
reg = LinearRegression()
reg.fit(x_pca, y)

我们可以打印出线性回归模型的系数和截距，以及 R2 分数。

print(reg.coef_)
print(reg.intercept_)
print(reg.score(x_pca, y))

最后，我们可以使用模型预测新的数据，并计算出置信区间。

import numpy as np
from scipy.stats import t

# 新数据
new_x = np.array([1, 2])
new_x_pca = pca.transform(new_x.reshape(1, -1))

# 预测结果
pred = reg.predict(new_x_pca)

# 置信区间
n = len(x_pca)
p = 2
alpha = 0.05
t_value = t.ppf(1 - alpha / 2, n - p - 1)
std_error = np.sqrt(np.sum((y - reg.predict(x_pca))**2) / (n - p - 1))
ci_low = pred - t_value * std_error
ci_high = pred + t_value * std_error
print(f"预测值：{pred}")
print(f"置信区间：({ci_low}, {ci_high})")

注意，这里我们选择了前两个主成分进行线性回归，因此我们得到的线性回归模型是在主成分空间下的，而不是在原始特征空间下的。为了得到在原始特征空间下的线性回归模型，我们需要将主成分转换回原始特征空间。