牛顿-共轭梯度法matlab

牛顿-共轭梯度法（Newton-CG method）是一种寻优算法，可以用于优化非线性函数，尤其是用于求解大规模的线性和非线性方程组。在MATLAB中，可以使用内置的“fminunc”函数实现牛顿-共轭梯度法。

下面是一个使用牛顿-共轭梯度法求解非线性函数的例子：

% 定义目标函数
fun = @(x) (1-x(1))^2 + 100*(x(2)-x(1)^2)^2;

% 定义初始点
x0 = [-1.2, 1];

% 定义牛顿-共轭梯度法选项
options = optimoptions('fminunc','Algorithm','trust-region','GradObj','on','Hessian','on');

% 使用fminunc函数求解
[x,fval] = fminunc(fun,x0,options);

在这个例子中，我们定义了一个非线性函数“fun”，并使用牛顿-共轭梯度法求解该函数的最小值。使用“optimoptions”函数定义了牛顿-共轭梯度法的选项，包括算法、是否计算梯度和海森矩阵等。最后，使用“fminunc”函数进行求解，得到最小值及其对应的参数值。

需要注意的是，牛顿-共轭梯度法可能会出现数值问题，特别是当海森矩阵不是正定矩阵时。此时可以考虑使用约束牛顿法或拟牛顿法等其他算法。

相关问题

matlab 编程实现牛顿法和共轭梯度法求解Rosenbrock函数极小值

% Rosenbrock函数
f = @(x) 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;

% Rosenbrock函数的梯度
grad_f = @(x) [-400*x(1)*(x(2) - x(1)^2) - 2*(1 - x(1)); 200*(x(2) - x(1)^2)];

% Rosenbrock函数的海森矩阵
hess_f = @(x) [1200*x(1)^2 - 400*x(2) + 2, -400*x(1); -400*x(1), 200];

% 初始点
x0 = [-1.2; 1];

% 牛顿法求解
[x1, fval1, ~] = newton(f, grad_f, hess_f, x0);

% 共轭梯度法求解
[x2, fval2, ~] = conjugate_gradient(f, grad_f, x0);

% 输出结果
fprintf('Newton method:\n');
fprintf('x = (%f, %f)\n', x1(1), x1(2));
fprintf('fval = %f\n\n', fval1);

fprintf('Conjugate gradient method:\n');
fprintf('x = (%f, %f)\n', x2(1), x2(2));
fprintf('fval = %f\n', fval2);

% 牛顿法函数
function [x, fval, iter] = newton(f, grad_f, hess_f, x0)
max_iter = 100;
tol = 1e-6;

x = x0;
iter = 0;
while iter < max_iter
iter = iter + 1;
dx = -hess_f(x)\grad_f(x);
x = x + dx;
fval = f(x);
if norm(dx) < tol
break;
end
end
end

% 共轭梯度法函数
function [x, fval, iter] = conjugate_gradient(f, grad_f, x0)
max_iter = 100;
tol = 1e-6;

x = x0;
g = grad_f(x);
d = -g;
iter = 0;
while iter < max_iter
iter = iter + 1;
alpha = -(g'*d)/(d'*hess_f(x)*d);
x = x + alpha*d;
g_new = grad_f(x);
beta = (g_new'*hess_f(x)*d)/(d'*hess_f(x)*d);
d = -g_new + beta*d;
g = g_new;
fval = f(x);
if norm(g) < tol
break;
end
end
end

编写最速下降法，牛顿法，共轭梯度法和拟牛顿法（BFGS）的MATLAB代码用于求解线性回归的最小二乘估计

在MATLAB中，我们可以使用内置函数如`lsqcurvefit`来解决线性回归问题，但它已经包含了最常用的方法。如果你想要手动编写这些优化算法，下面是一个简单的例子展示了如何分别使用最速下降法、牛顿法（实际上是矩阵形式的牛顿-Raphson方法）、共轭梯度法和Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) 拟牛顿法。

% 定义线性模型和数据
X = rand(100, 2); % 随机输入特征矩阵
y = X * [1; 2] + 0.1*randn(100, 1); % 目标向量，真实模型加上随机噪声

% 1. 最速下降法（Gradient Descent）
alpha = 0.01; % 学习率
theta_initial = zeros(size(X, 2), 1); % 初始猜测
function [theta, cost] = gradient_descent(X, y, theta, alpha)
    J = (X * theta - y)' * (X * theta - y) / size(y, 1);
    grad = 2 * X' * (X * theta - y) / size(y, 1);
    theta = theta - alpha * grad;
    cost = J;
end
[theta GD, ~] = fsolve(@(theta) gradient_descent(X', y, theta, alpha), theta_initial);

% 2. 牛顿法（Quasi-Newton with BFGS Update）
options = optimoptions('fminunc', 'Algorithm', 'quasi-newton');
[theta Newton, ~] = fminunc(@(theta) mean((X * theta - y).^2), theta_initial, options);

% 3. 共轭梯度法
options.CGDisplay = 'iter';
options.MaxIter = Inf; % 设置无限迭代次数
[theta CG, exitflag] = fminunc(@(theta) mean((X * theta - y).^2), theta_initial, options);

% 4. BFGS 拟牛顿法
options.Method = 'trust-region';
[theta BFGS, ~] = fminunc(@(theta) mean((X * theta - y).^2), theta_initial, options);

% 输出结果
disp("Results:");
disp(['GD: ', num2str(theta(GD))]);
disp(['Newton: ', num2str(theta(Newton))]);
disp(['CG: ', num2str(theta(CG))]);
disp(['BFGS: ', num2str(theta(BFGS))]);

%