分支限界法求图的最短回路

分支限界法是一种求解最优化问题的方法，可以用于求解图的最短回路问题。

具体步骤如下：

1. 定义状态空间：将问题的解空间表示为一个树形结构，每个节点表示一个状态。

2. 定义下界函数：对于每个状态，在它的子节点中选择一个最有可能成为最优解的节点作为下一步扩展的状态。

3. 搜索状态空间：从根节点开始搜索状态空间，直到找到最优解或者无法继续搜索。

4. 剪枝：在搜索状态空间时，如果某个节点的下界函数值比当前最优解还要大，那么可以将该节点从搜索队列中删除，从而减少搜索空间。

对于图的最短回路问题，可以将每个状态表示为一个包含部分路径的结构，下界函数可以使用已经选定的路径长度加上剩余路径长度的最小值来计算。在搜索状态空间时，可以使用贪心算法来选择下一个节点。

需要注意的是，分支限界法虽然可以找到最优解，但是时间复杂度较高，对于大规模的问题可能不太适用。

相关问题

分支限界法求图的最短回路源码

以下是一个使用分支限界法求解图的最短回路问题的Python源码示例：

import sys

# 定义一个节点类，用于表示状态空间中的节点
class Node:
    def __init__(self, path, bound, length):
        self.path = path # 当前路径
        self.bound = bound # 当前路径的下界
        self.length = length # 当前路径已经走过的长度

# 定义一个函数，用于计算两点之间的距离
def distance(x1, y1, x2, y2):
    return ((x1-x2)**2 + (y1-y2)**2)**0.5

# 定义一个函数，用于计算当前路径的下界
def lower_bound(graph, path):
    n = len(graph)
    visited = [False] * n
    # 计算已经走过的长度
    length = sum([distance(path[i][0], path[i][1], path[i+1][0], path[i+1][1]) for i in range(len(path)-1)])
    # 计算剩余路径的最小长度
    for i in range(len(path)):
        visited[path[i]] = True
    bound = length
    for i in range(n):
        if not visited[i]:
            min_dist = sys.maxsize
            for j in range(n):
                if visited[j]:
                    dist = graph[i][j]
                    if dist < min_dist:
                        min_dist = dist
            bound += min_dist
    return bound

# 定义一个函数，用于求解图的最短回路问题
def tsp(graph):
    n = len(graph)
    # 初始化起始节点
    start_node = Node([0], lower_bound(graph, [0]), 0)
    # 初始化最优解
    best_path = None
    best_length = sys.maxsize
    # 定义一个优先队列，用于存放待扩展的节点
    queue = [start_node]
    while queue:
        # 从队列中取出一个节点
        curr_node = queue.pop(0)
        # 如果当前节点的下界比当前最优解还要大，剪枝
        if curr_node.bound >= best_length:
            continue
        # 如果当前节点的路径已经包含了所有的节点，更新最优解
        if len(curr_node.path) == n:
            curr_length = curr_node.length + graph[curr_node.path[-1]][0]
            if curr_length < best_length:
                best_path = curr_node.path + [0]
                best_length = curr_length
        # 否则，扩展当前节点的子节点
        else:
            for i in range(n):
                if i not in curr_node.path:
                    new_path = curr_node.path + [i]
                    new_bound = lower_bound(graph, new_path)
                    new_length = curr_node.length + graph[curr_node.path[-1]][i]
                    new_node = Node(new_path, new_bound, new_length)
                    # 将子节点插入队列中，并按照下界从小到大的顺序排序
                    queue.append(new_node)
                    queue.sort(key=lambda x: x.bound)
    return best_path, best_length

# 测试代码
graph = [
    [0, 1, 2, 3],
    [1, 0, 4, 5],
    [2, 4, 0, 6],
    [3, 5, 6, 0]
]
best_path, best_length = tsp(graph)
print("best path:", best_path)
print("best length:", best_length)

在上述代码中，我们定义了一个`Node`类来表示状态空间中的节点，每个节点包含了当前已经走过的路径、当前路径的下界和已经走过的路径长度。我们使用贪心算法来计算当前路径的下界，然后使用优先队列来存放待扩展的节点，每次从队列中取出下界最小的节点进行扩展。在扩展节点时，如果当前节点的下界比当前最优解还要大，我们就将其剪枝，不再扩展它的子节点。如果当前节点的路径已经包含了所有的节点，我们就更新最优解。最终，我们返回最优解的路径和长度。

分支限界法求图的最短回路c++实现

以下是使用分支限界法求解图的最短回路问题的C++实现示例：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <limits>

using namespace std;

// 定义一个节点类，用于表示状态空间中的节点
class Node {
public:
    vector<int> path; // 当前路径
    int bound; // 当前路径的下界
    int length; // 当前路径已经走过的长度

    Node(vector<int> path, int bound, int length) {
        this->path = path;
        this->bound = bound;
        this->length = length;
    }
};

// 定义一个函数，用于计算两点之间的距离
double distance(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return sqrt((x1-x2)*(x1-x2) + (y1-y2)*(y1-y2));
}

// 定义一个函数，用于计算当前路径的下界
int lower_bound(vector<vector<double>>& graph, vector<int>& path) {
    int n = graph.size();
    vector<bool> visited(n, false);
    // 计算已经走过的长度
    int length = 0;
    for (int i = 0; i < path.size()-1; i++) {
        length += graph[path[i]][path[i+1]];
    }
    // 计算剩余路径的最小长度
    int bound = length;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (find(path.begin(), path.end(), i) == path.end()) {
            double min_dist = numeric_limits<double>::max();
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (find(path.begin(), path.end(), j) != path.end()) {
                    double dist = graph[i][j];
                    if (dist < min_dist) {
                        min_dist = dist;
                    }
                }
            }
            bound += min_dist;
        }
    }
    return bound;
}

// 定义一个函数，用于求解图的最短回路问题
pair<vector<int>, int> tsp(vector<vector<double>>& graph) {
    int n = graph.size();
    // 初始化起始节点
    vector<int> start_path = {0};
    int start_bound = lower_bound(graph, start_path);
    Node start_node(start_path, start_bound, 0);
    // 初始化最优解
    vector<int> best_path;
    int best_length = numeric_limits<int>::max();
    // 定义一个优先队列，用于存放待扩展的节点
    priority_queue<Node, vector<Node>, function<bool(Node, Node)>> queue(
        [](Node a, Node b) { return a.bound > b.bound; }
    );
    queue.push(start_node);
    while (!queue.empty()) {
        // 从队列中取出一个节点
        Node curr_node = queue.top();
        queue.pop();
        // 如果当前节点的下界比当前最优解还要大，剪枝
        if (curr_node.bound >= best_length) {
            continue;
        }
        // 如果当前节点的路径已经包含了所有的节点，更新最优解
        if (curr_node.path.size() == n) {
            int curr_length = curr_node.length + graph[curr_node.path.back()][0];
            if (curr_length < best_length) {
                best_path = curr_node.path;
                best_length = curr_length;
            }
        }
        // 否则，扩展当前节点的子节点
        else {
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (find(curr_node.path.begin(), curr_node.path.end(), i) == curr_node.path.end()) {
                    vector<int> new_path = curr_node.path;
                    new_path.push_back(i);
                    int new_bound = lower_bound(graph, new_path);
                    int new_length = curr_node.length + graph[curr_node.path.back()][i];
                    Node new_node(new_path, new_bound, new_length);
                    // 将子节点插入队列中，并按照下界从小到大的顺序排序
                    queue.push(new_node);
                }
            }
        }
    }
    best_path.push_back(0);
    return make_pair(best_path, best_length);
}

// 测试代码
int main() {
    vector<vector<double>> graph = {
        {0, 1, 2, 3},
        {1, 0, 4, 5},
        {2, 4, 0, 6},
        {3, 5, 6, 0}
    };
    auto res = tsp(graph);
    vector<int> best_path = res.first;
    int best_length = res.second;
    cout << "best path: ";
    for (int i : best_path) {
        cout << i << " ";
    }
    cout << endl;
    cout << "best length: " << best_length << endl;
    return 0;
}

在上述代码中，我们使用了STL中的`vector`、`queue`和`priority_queue`等容器，分别用于存放图的邻接矩阵、待扩展的节点和按照下界从小到大排序的节点。我们使用`numeric_limits`库来初始化最优解的长度和下界，这样可以保证它们的值为INT_MAX和DBL_MAX。在计算当前路径的下界时，我们使用了STL中的`find`函数来判断一个节点是否已经在当前路径中。在扩展节点时，我们使用了STL中的`find`函数来判断一个节点是否已经在当前路径中，以及使用了`make_pair`函数来构造返回值。