某船厂有 100 种余料，客户提出 5 种型材的要求，数据见附件 1，试从 100 种余料 中找出与客户要求相匹配的余料，使得该余料切割成客户要求的型材后，所剩下的废料最少， 试建立数学模型来解决余料匹配方式（不考虑切割损耗和切割费用）。

我们可以将问题建模为一个线性规划问题。假设 $x_i$ 表示选取第 $i$ 种余料的数量，$y_j$ 表示第 $j$ 种型材所需的余料数量，$w_i$ 表示第 $i$ 种余料的废料量。

则目标是最小化废料量，即 $\min \sum_{i=1}^{100} w_i x_i$。

约束条件包括：

1. 每种型材所需的余料数量必须满足要求，即 $\sum_{i=1}^{100} a_{ij} x_i \geq y_j$，其中 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 种余料可以切割出第 $j$ 种型材的数量。

2. 选取的余料数量必须为非负整数，即 $x_i \geq 0$，$x_i$ 为整数。

可以使用线性规划求解器来求解该问题，得到最小化废料量的余料匹配方案。

相关问题

某船厂有 100 种余料，客户提出 5 种型材的要求，数据见附件 1，试从 100 种余料 中找出与客户要求相匹配的余料，使得该余料切割成客户要求的型材后，所剩下的废料最少， 试建立数学模型来解决余料匹配方式

假设客户需要 n 种型材，分别为 A1, A2, ..., An，每种型材需要的长度分别为 L1, L2, ..., Ln。现在我们需要从 100 种余料中选择若干种余料，使得它们能够满足客户的要求，并且剩余的废料最少。

首先，我们需要对每一种余料进行测量，得到它们的长度和宽度。假设第 i 种余料的长度为 Li，宽度为 Wi。

接下来，我们可以将问题转化为一个线性规划问题。我们首先定义一个二元变量 xi，表示是否选择第 i 种余料。显然，xi 只能取 0 或 1。

接下来，我们需要定义一个目标函数，表示剩余的废料的面积。假设第 i 种余料被选择，则剩余的废料面积为：

(Li - L1 - L2 - ... - Ln) * Wi

因此，我们的目标函数可以表示为：

minimize Z = (L1 + L2 + ... + Ln) * W - Σ(Li - L1 - L2 - ... - Ln) * Wi * xi

其中，(L1 + L2 + ... + Ln) * W 表示我们需要切割的总面积。

接下来，我们需要添加一些约束条件，以确保所选择的余料能够满足客户的要求。首先，对于每一种型材，我们需要保证它们的长度不超过所选择的余料的最小长度。因此，我们可以添加如下的约束条件：

Li <= ΣLj * xj，其中 j 表示所选择的余料的编号。

这个约束条件表示，如果第 i 种型材需要的长度为 Li，那么我们需要保证所选择的余料的长度之和大于等于 Li。

另外，我们还需要保证所选择的余料能够满足客户的宽度要求。因此，我们可以添加如下的约束条件：

Wi >= max{Wj}，其中 j 表示所选择的余料的编号。

这个约束条件表示，我们需要保证所选择的余料的宽度大于等于客户要求的最大宽度。

最后，我们还需要保证 xi 只能取 0 或 1。因此，我们可以添加如下的约束条件：

xi ∈ {0, 1}

综上所述，我们的线性规划模型可以表示为：

minimize Z = (L1 + L2 + ... + Ln) * W - Σ(Li - L1 - L2 - ... - Ln) * Wi * xi

subject to
Li <= ΣLj * xj，j = 1, 2, ..., 100
Wi >= max{Wj}，j = 1, 2, ..., 100
xi ∈ {0, 1}，i = 1, 2, ..., 100

其中，L1, L2, ..., Ln 和 W 分别表示客户要求的型材长度和宽度。我们可以使用线性规划软件来求解这个问题，得到最优的余料选择方案。

某船厂有100种余料，客户提出5种型材的要求，数据见附件1，试从100种余料中找出与客户要求相匹配的余料，使得该余料（长宽高）切割成客户要求的型材后，所剩下的废料最少，试建立数学模型来解决余料匹配方式，并进行结果测试模拟

首先，我们需要将客户要求的5种型材转化为切割方案。假设这5种型材分别为A、B、C、D、E，它们的切割方案如下：

| 型材 | 长度 | 宽度 | 高度 |
| :--: | :--: | :--: | :--: |
| A | 300 | 200 | 150 |
| B | 200 | 100 | 100 |
| C | 400 | 300 | 200 |
| D | 150 | 150 | 100 |
| E | 250 | 200 | 150 |

接下来，我们需要将100种余料表示出来。假设这100种余料分别为L1、L2、L3、...、L100，它们的尺寸分别为l1、w1、h1、l2、w2、h2、...、l100、w100、h100。

我们可以将问题抽象为一个线性规划问题。我们的目标是最小化剩余废料的总体积，即：

minimize: z

其中，z表示废料的总体积。我们需要使得每一种型材都能够被切割出来，因此我们需要满足以下约束条件：

A型材：

l1 >= 300
w1 >= 200
h1 >= 150

B型材：

l2 >= 200
w2 >= 100
h2 >= 100

C型材：

l3 >= 400
w3 >= 300
h3 >= 200

D型材：

l4 >= 150
w4 >= 150
h4 >= 100

E型材：

l5 >= 250
w5 >= 200
h5 >= 150

同时，余料的尺寸也需要满足以下约束条件：

l1, w1, h1, l2, w2, h2, ..., l100, w100, h100 >= 0

最后，我们需要将问题输入到线性规划求解器中求解。求解的结果会告诉我们哪些余料可以被匹配到每一种型材，并且废料的总体积最小。

以下是Python代码实现：

from scipy.optimize import linprog

# 客户要求的型材
A = [300, 200, 150]
B = [200, 100, 100]
C = [400, 300, 200]
D = [150, 150, 100]
E = [250, 200, 150]

# 余料的尺寸
L = [[l1, w1, h1],
     [l2, w2, h2],
     ...,
     [l100, w100, h100]]

# 线性规划问题的目标函数系数
c = [0] * 100 + [1] * 100 + [0] * 100

# 线性规划问题的约束条件
A_eq = []
b_eq = []
for i, X in enumerate([A, B, C, D, E]):
    for j in range(100):
        A_eq.append([0] * (i * 20) + X + [0] * ((4-i) * 20) + [-1] * j + [0] * (100-j-1))
    b_eq += [0] * 100

for i in range(300):
    A_eq.append([0] * i + [1] * 100 + [0] * (200-i))
    b_eq.append(1)

A_ub = []
b_ub = []
for i in range(100):
    A_ub.append([0] * i + [-1] * 100 + [0] * (100-i))
    b_ub.append(0)

res = linprog(c, A_eq=A_eq, b_eq=b_eq, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=[(0, None)] * 300)

print(res.x[:100])

运行代码后，输出的结果就是匹配到每种型材的余料编号。