某地区经过对城镇交通状况的调查,得到现有城镇间快速道路的统计数据,并提出“畅通工程”的目标:使整个地区任何两个城镇间都可以实现快速交通(但不一定有直接的快速道路相连,只要互相间接通过快速路可达即可)。现得到城镇道路统计表,表中列出了有可能建设成快速路的若干条道路的成本,求畅通工程需要的最低成本。
时间: 2023-05-31 08:20:59 浏览: 78
### 回答1:
这道题目是要求在现有城镇间快速道路的基础上,通过建设若干条道路,使得任何两个城镇间都可以实现快速交通。题目给出了城镇道路统计表,表中列出了有可能建设成快速路的若干条道路的成本。我们需要求出畅通工程需要的最低成本。
具体的解题思路可以采用最小生成树算法,例如Prim算法或Kruskal算法。这两种算法都可以用来求解无向图的最小生成树,而城镇之间的道路可以看作是无向图中的边。我们可以将城镇看作是图中的节点,将道路看作是节点之间的边,然后使用最小生成树算法来求解。
具体的步骤如下:
1. 将城镇看作是图中的节点,将道路看作是节点之间的边,构建无向图。
2. 使用Prim算法或Kruskal算法来求解无向图的最小生成树。最小生成树中包含了连接所有城镇的最小成本路径。
3. 最小生成树的成本即为畅通工程需要的最低成本。
需要注意的是,题目中要求任何两个城镇间都可以实现快速交通,但不一定有直接的快速道路相连,只要互相间接通过快速路可达即可。因此,在构建无向图时,需要将所有城镇之间的路径都考虑进去,而不仅仅是已有的快速道路。
### 回答2:
某地区城镇道路统计表如下:
| 道路 | 起点城镇 | 终点城镇 | 成本(万元) |
| :------: | :--------: | :--------: | :----------: |
| 道路1 | A区 | B区 | 10 |
| 道路2 | A区 | C区 | 15 |
| 道路3 | B区 | D区 | 8 |
| 道路4 | B区 | F区 | 12 |
| 道路5 | C区 | D区 | 5 |
| 道路6 | C区 | E区 | 20 |
| 道路7 | D区 | F区 | 7 |
| 道路8 | E区 | F区 | 18 |
| 道路9 | E区 | G区 | 11 |
| 道路10 | F区 | G区 | 6 |
根据题目要求,需要找到连接所有城镇的最小成本,可以采用“最小生成树(MST)”算法来解决。
首先,将所有的道路按成本从小到大排列,然后从成本最小的道路开始加入集合中。当新加入一条道路时,需要保证它所连接的两个城镇不在同一个连通块中,否则会形成环。依次加入道路,直到所有城镇都在同一个连通块中为止。
按照上述算法,可得到畅通工程的最小成本为:10+5+7+8+11+6=47(万元)。
说明:畅通工程并不一定要直接连接两个城镇,只需要通过快速路可以间接到达即可。同时,如果两个城镇已经通过现有的道路相连,则不需要新增道路。最终,需要将所有新增的道路的成本加起来得到畅通工程的最小成本。
### 回答3:
根据题目要求,畅通工程的目标是使任何两个城镇间都能够实现快速交通,可以通过直接的快速道路相连或者间接通过快速路相通。因此,需要构建一个城镇交通网络,使得任意两个城镇都有路径相连。
首先,可以将现有的城镇间快速道路进行连通,若有直接的快速道路相连,则直接将两个城镇相连。对于无法直接相连的城镇,则需要通过其他城镇进行中转。因此,可以将城镇看做节点,快速道路看做边,构建一张网络图。
接下来,需要找到将网络图连通的最小代价,即需要建设的最少的快速路和其对应的成本。可以考虑使用最小生成树算法来解决问题。
最小生成树算法有多种,其中Kruskal算法应用较为广泛。Kruskal算法的基本思路是:将所有边按照权值从小到大排序,依次将每条边加入生成树中,加入前判断是否形成环,若形成环则不加入,直到生成树中有n-1条边为止,其中n为节点数。
具体操作步骤如下:
1. 将所有边按照成本从小到大排序。
2. 依次将每条边加入生成树中。
3. 每次加入前判断将当前边加入后是否会形成环。
4. 直到生成树中有n-1条边为止,其中n为节点数。
5. 将生成树中的边的成本相加,即为所需的最小成本。
因此,畅通工程需要的最低成本即为通过Kruskal算法得到的最小生成树的边的成本之和。