slam图优化建立代价函数举例说明

在SLAM中，优化问题的目标是最小化误差或代价函数。代价函数的构建通常基于误差模型和约束条件。下面以一个简单的例子来说明如何建立代价函数。

假设有两个机器人，分别位于点 $A$ 和点 $B$，它们的运动轨迹可以通过IMU和视觉传感器进行估计。我们希望通过SLAM算法来估计机器人的运动轨迹以及地图。我们可以使用以下的代价函数：

$$
\min\sum_{i=1}^{N}\left\|f_i(x)-z_i\right\|^2
$$

其中，$f_i(x)$ 表示机器人在时间步 $i$ 的运动轨迹和地图，$z_i$ 表示通过传感器测量得到的机器人在时间步 $i$ 的位置和姿态信息。代价函数的目标是最小化测量和估计之间的差距。

为了建立代价函数，我们需要确定误差模型和约束条件。假设机器人的运动是基于刚体模型，运动轨迹可以通过速度和角速度进行估计。我们可以使用欧拉积分法来计算机器人的位姿变化。则运动模型可以表示为：

$$
x_i = \exp(\delta t_i \cdot \mathcal{S}(\omega_i))\cdot x_{i-1} + \delta t_i \cdot v_i
$$

其中，$\mathcal{S}(\omega_i)$ 表示一个反对称矩阵，$v_i$ 表示机器人在时间步 $i$ 的线速度。假设我们使用相机测量机器人的位姿信息，我们可以使用以下的误差模型：

$$
e_i = \pi(f_i(x)) - z_i
$$

其中，$\pi$ 表示投影函数。对于单目相机，投影函数可以表示为：

$$
\pi(x) = \begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_x\frac{x}{z}+c_x\\f_y\frac{y}{z}+c_y\end{bmatrix}
$$

这里，$f_x$ 和 $f_y$ 表示相机的焦距，$c_x$ 和 $c_y$ 表示相机的光心坐标。对于双目相机和深度相机，投影函数也可以类似地定义。

最后，我们需要将误差模型和约束条件转换为代价函数。我们可以使用高斯分布来建模误差，代价函数可以表示为：

$$
\min\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}(f_i(x)-z_i)^T\Lambda_i(f_i(x)-z_i)
$$

其中，$\Lambda_i$ 表示协方差矩阵。如果我们假设误差服从零均值高斯分布，$\Lambda_i$ 就可以表示为对角矩阵。

这样，我们就得到了一个基于误差模型和约束条件的代价函数。我们可以使用优化算法来最小化代价函数，从而得到机器人的运动轨迹和地图。