求解01背包问题三种解法

01背包问题是一个经典的动态规划问题，它的三种解法如下：

1. 暴力递归法：使用递归的方式，依次枚举每一个物品，计算放入或不放入背包的最大价值。

2. 动态规划法：使用动态规划的思想，将问题分解为子问题，通过填表的方式求解每一个子问题的最优解，最终得到原问题的最优解。

3. 滚动数组法：使用滚动数组的方式，将动态规划法中的二维数组优化为一维数组，减少空间复杂度，提高效率。

其中，暴力递归法虽然简单易懂，但是时间复杂度非常高，不适合用于大规模数据的求解。动态规划法和滚动数组法则是常用的求解方法，它们的时间复杂度都为 O(NW)，其中 N 表示物品数量，W 表示背包容量。

相关问题

01背包问题的贪心解法

01背包问题是一个经典的动态规划问题，贪心算法在解决该问题时并不适用。贪心算法是一种每次选择当前最优解的策略，但在01背包问题中，贪心算法不能保证得到最优解。

01背包问题描述如下：给定一组物品，每个物品有对应的重量和价值，以及一个固定的背包容量。目标是选择一些物品放入背包中，使得放入的物品总重量不超过背包容量，同时总价值最大。

动态规划是解决01背包问题的常用方法。可以使用一个二维数组dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。状态转移方程如下：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。dp[i-1][j]表示不选择第i个物品时的最大价值，dp[i-1][j-w[i]] + v[i]表示选择第i个物品时的最大价值。

根据状态转移方程，可以使用动态规划算法求解01背包问题。

用c语言实现01背包问题的四种解法

好的，我来为您介绍一下。

1.暴力递归法

这种方法是通过递归的方式来解决01背包问题的。对于每个物品，我们可以选择将其放入背包或者不放入背包，然后再考虑下一个物品。当考虑完所有的物品后，我们就可以得到一个解，然后再从所有的解中选择一个最优解。这种方法的时间复杂度为O(2^n)，其中n为物品的个数，因为对于每个物品，我们都有两种选择。

下面是使用暴力递归法实现01背包问题的代码：

#include <stdio.h>

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int knapsack(int W, int wt[], int val[], int n) {
    if (n == 0 || W == 0) {
        return 0;
    }
    if (wt[n-1] > W) {
        return knapsack(W, wt, val, n-1);
    }
    return max(val[n-1] + knapsack(W-wt[n-1], wt, val, n-1), knapsack(W, wt, val, n-1));
}

int main() {
    int val[] = {60, 100, 120};
    int wt[] = {10, 20, 30};
    int W = 50;
    int n = sizeof(val)/sizeof(val[0]);
    printf("Maximum value: %d", knapsack(W, wt, val, n));
    return 0;
}

2.动态规划法

动态规划法是通过构建一个二维数组来解决01背包问题的。我们可以将物品放入背包中，或者不将其放入背包中。我们可以将二维数组中的每个元素看做是一个子问题的解，然后我们可以通过递推的方式来求解整个问题的解。此方法的时间复杂度为O(nW)，其中n为物品的个数，W为背包的容量。

下面是使用动态规划法实现01背包问题的代码：

#include <stdio.h>

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

int knapsack(int W, int wt[], int val[], int n) {
    int dp[n+1][W+1];
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        for (int w = 0; w <= W; w++) {
            if (i == 0 || w == 0) {
                dp[i][w] = 0;
            } else if (wt[i-1] > w) {
                dp[i][w] = dp[i-1][w];
            } else {
                dp[i][w] = max(val[i-1] + dp[i-1][w-wt[i-1]], dp[i-1][w]);
            }
        }
    }
    return dp[n][W];
}

int main() {
    int val[] = {60, 100, 120};
    int wt[] = {10, 20, 30};
    int W = 50;
    int n = sizeof(val)/sizeof(val[0]);
    printf("Maximum value: %d", knapsack(W, wt, val, n));
    return 0;
}

3.回溯法

回溯法是通过搜索所有可能的解来解决01背包问题的。在搜索的过程中，我们可以将物品放入背包中，或者不将其放入背包中。如果当前的背包容量已经超过了背包的容量，或者已经考虑完所有的物品，那么就可以得到一个解。然后再从所有的解中选择一个最优解。这种方法的时间复杂度为O(2^n)，其中n为物品的个数。

下面是使用回溯法实现01背包问题的代码：

#include <stdio.h>

int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

void knapsack(int W, int wt[], int val[], int n, int curW, int curVal, int *maxVal) {
    if (curW > W) {
        return;
    }
    if (n == 0) {
        *maxVal = max(*maxVal, curVal);
        return;
    }
    knapsack(W, wt, val, n-1, curW, curVal, maxVal);
    knapsack(W, wt, val, n-1, curW+wt[n-1], curVal+val[n-1], maxVal);
}

int main() {
    int val[] = {60, 100, 120};
    int wt[] = {10, 20, 30};
    int W = 50;
    int n = sizeof(val)/sizeof(val[0]);
    int maxVal = 0;
    knapsack(W, wt, val, n, 0, 0, &maxVal);
    printf("Maximum value: %d", maxVal);
    return 0;
}

4.分支限界法

分支限界法是通过搜索所有可能的解来解决01背包问题的。在搜索的过程中，我们可以将物品放入背包中，或者不将其放入背包中。但是我们在搜索的过程中，可以使用一些策略来减少搜索的次数。例如，我们可以将物品按照单位重量的价值排序，然后先考虑价值高的物品。这种方法的时间复杂度取决于使用的策略，但是一般来说，它的时间复杂度可以达到O(nlogn)。

下面是使用分支限界法实现01背包问题的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct Item {
    int val;
    int wt;
    double vw;
} Item;

int cmp(const void *a, const void *b) {
    Item *ia = (Item *)a;
    Item *ib = (Item *)b;
    return ib->vw - ia->vw;
}

int bound(Item items[], int n, int W, int curW, int curVal) {
    if (curW > W) {
        return 0;
    }
    int boundVal = curVal;
    int j = n;
    int totW = curW;
    while ((j < n) && (totW + items[j].wt <= W)) {
        totW += items[j].wt;
        boundVal += items[j].val;
        j++;
    }
    if (j < n) {
        boundVal += (W - totW) * items[j].vw;
    }
    return boundVal;
}

void knapsack(Item items[], int n, int W, int *maxVal) {
    qsort(items, n, sizeof(Item), cmp);
    int curW = 0, curVal = 0;
    int i = 0;
    int boundVal = bound(items, n, W, curW, curVal);
    int Q[n];
    Q[i] = 0;
    while (i >= 0) {
        int j = Q[i];
        i--;
        if (j == n) {
            if (curVal > *maxVal) {
                *maxVal = curVal;
            }
            continue;
        }
        if (curW + items[j].wt <= W) {
            curW += items[j].wt;
            curVal += items[j].val;
            if (curVal > *maxVal) {
                *maxVal = curVal;
            }
            boundVal = bound(items, n, W, curW, curVal);
            if (boundVal > *maxVal) {
                i++;
                Q[i] = j+1;
            }
            curW -= items[j].wt;
            curVal -= items[j].val;
        }
        boundVal = bound(items, n, W, curW, curVal);
        if (boundVal > *maxVal) {
            i++;
            Q[i] = j+1;
        }
    }
}

int main() {
    Item items[] = {{60, 10, 6}, {100, 20, 5}, {120, 30, 4}};
    int n = sizeof(items)/sizeof(items[0]);
    int W = 50;
    int maxVal = 0;
    knapsack(items, n, W, &maxVal);
    printf("Maximum value: %d", maxVal);
    return 0;
}