公元1225年，比萨的数学家Leonardo Fibonacci(斐波那契)研究了方程 得到一个根，没有人知道他是如何得到这个结果的。 （1）对于这个方程，试根据数值分析课程的理论学习并查阅其它参考文献，提供五种方法求该方程根的近似值（取，要求准确到）。 （2）对（1）中的各种方法进行Steffensen加速。

（1）根据题意 $x^3-x-1=0$，以下是五种求解方程根的近似值的方法：

(a) 二分法

根据介值定理，该方程在区间 $[1,2]$ 内有且仅有一个根。我们可以不断将区间对半分，直到找到根的近似值。具体步骤如下：

- 取区间 $[a_0,b_0]=[1,2]$；
- 确定区间中点 $c_0=\frac{a_0+b_0}{2}$；
- 如果 $f(c_0)=0$ 或者 $|b_0-a_0|<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是预设的精度，那么停止计算，输出 $c_0$；
- 如果 $f(a_0)f(c_0)<0$，那么令 $[a_1,b_1]=[a_0,c_0]$，否则令 $[a_1,b_1]=[c_0,b_0]$；
- 令 $a_0=a_1$，$b_0=b_1$，重复步骤 2～4。

依此类推，最终可以得到根的一个近似值。根据二分法的理论，该方法的收敛速度是线性的，即每迭代一次，误差大约减半。

(b) 牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种基于函数局部线性近似的迭代方法。具体步骤如下：

- 选取初始近似值 $x_0$；
- 计算 $x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$；
- 如果 $|x_{k+1}-x_k|<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是预设的精度，那么停止计算，输出 $x_{k+1}$，否则返回第二步。

牛顿迭代法的收敛速度是二次的，即每迭代一次，误差大约减少到原来的平方。

(c) 割线法

割线法是一种基于函数局部线性近似的迭代方法，与牛顿迭代法类似，但是不需要计算导数。具体步骤如下：

- 选取初始近似值 $x_0$ 和 $x_1$；
- 计算 $x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$；
- 如果 $|x_{k+1}-x_k|<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是预设的精度，那么停止计算，输出 $x_{k+1}$，否则返回第二步。

割线法的收敛速度是超线性的，但是需要计算两次函数值，计算量较大。

(d) 试位法

试位法是一种基于区间不断缩小的方法。具体步骤如下：

- 选择初始区间 $[a,b]$，使得 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的符号不同；
- 计算区间中点 $c=\frac{a+b}{2}$，如果 $f(c)=0$ 或者 $|b-a|<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是预设的精度，那么停止计算，输出 $c$；
- 如果 $f(a)f(c)<0$，那么令 $b=c$，否则令 $a=c$，返回第二步。

试位法的收敛速度是线性的，即每迭代一次，误差大约减半。

(e) 重心法

重心法是一种基于区间不断缩小的方法，与试位法类似，但是不需要判断符号。具体步骤如下：

- 选择初始区间 $[a,b]$；
- 计算区间重心 $c=\frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}$，如果 $|f(c)|<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是预设的精度，那么停止计算，输出 $c$；
- 如果 $f(a)f(c)<0$，那么令 $b=c$，否则令 $a=c$，返回第二步。

重心法的收敛速度介于线性和二次之间。

（2）对于上述五种方法中的每一种，可以使用Steffensen加速来提高收敛速度。Steffensen加速是一种基于不动点迭代的加速方法，可以将线性收敛的迭代方法加速为超线性或二次收敛。具体步骤如下：

- 选取初始近似值 $x_0$；
- 计算 $y_k=f(x_k)$，$z_k=f(y_k)$；
- 计算 $x_{k+1}=x_k-\frac{(y_k-x_k)^2}{z_k-2y_k+x_k}$；
- 如果 $|x_{k+1}-x_k|<\epsilon$，其中 $\epsilon$ 是预设的精度，那么停止计算，输出 $x_{k+1}$，否则返回第二步。

使用Steffensen加速后，收敛速度会显著提高，但是每次迭代需要计算两次函数值，计算量较大。