公元1225年,比萨的数学家Leonardo Fibonacci(斐波那契)研究了方程 得到一个根,没有人知道他是如何得到这个结果的。 (1)对于这个方程,试根据数值分析课程的理论学习并查阅其它参考文献,提供五种方法求该方程根的近似值(取,要求准确到)。 (2)对(1)中的各种方法进行Steffensen加速。
时间: 2024-03-28 21:40:26 浏览: 79
使用python求斐波那契数列中第n个数的值示例代码
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(1)根据题意 $x^3-x-1=0$,以下是五种求解方程根的近似值的方法:
(a) 二分法
根据介值定理,该方程在区间 $[1,2]$ 内有且仅有一个根。我们可以不断将区间对半分,直到找到根的近似值。具体步骤如下:
- 取区间 $[a_0,b_0]=[1,2]$;
- 确定区间中点 $c_0=\frac{a_0+b_0}{2}$;
- 如果 $f(c_0)=0$ 或者 $|b_0-a_0|<\epsilon$,其中 $\epsilon$ 是预设的精度,那么停止计算,输出 $c_0$;
- 如果 $f(a_0)f(c_0)<0$,那么令 $[a_1,b_1]=[a_0,c_0]$,否则令 $[a_1,b_1]=[c_0,b_0]$;
- 令 $a_0=a_1$,$b_0=b_1$,重复步骤 2~4。
依此类推,最终可以得到根的一个近似值。根据二分法的理论,该方法的收敛速度是线性的,即每迭代一次,误差大约减半。
(b) 牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种基于函数局部线性近似的迭代方法。具体步骤如下:
- 选取初始近似值 $x_0$;
- 计算 $x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$;
- 如果 $|x_{k+1}-x_k|<\epsilon$,其中 $\epsilon$ 是预设的精度,那么停止计算,输出 $x_{k+1}$,否则返回第二步。
牛顿迭代法的收敛速度是二次的,即每迭代一次,误差大约减少到原来的平方。
(c) 割线法
割线法是一种基于函数局部线性近似的迭代方法,与牛顿迭代法类似,但是不需要计算导数。具体步骤如下:
- 选取初始近似值 $x_0$ 和 $x_1$;
- 计算 $x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}$;
- 如果 $|x_{k+1}-x_k|<\epsilon$,其中 $\epsilon$ 是预设的精度,那么停止计算,输出 $x_{k+1}$,否则返回第二步。
割线法的收敛速度是超线性的,但是需要计算两次函数值,计算量较大。
(d) 试位法
试位法是一种基于区间不断缩小的方法。具体步骤如下:
- 选择初始区间 $[a,b]$,使得 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的符号不同;
- 计算区间中点 $c=\frac{a+b}{2}$,如果 $f(c)=0$ 或者 $|b-a|<\epsilon$,其中 $\epsilon$ 是预设的精度,那么停止计算,输出 $c$;
- 如果 $f(a)f(c)<0$,那么令 $b=c$,否则令 $a=c$,返回第二步。
试位法的收敛速度是线性的,即每迭代一次,误差大约减半。
(e) 重心法
重心法是一种基于区间不断缩小的方法,与试位法类似,但是不需要判断符号。具体步骤如下:
- 选择初始区间 $[a,b]$;
- 计算区间重心 $c=\frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}$,如果 $|f(c)|<\epsilon$,其中 $\epsilon$ 是预设的精度,那么停止计算,输出 $c$;
- 如果 $f(a)f(c)<0$,那么令 $b=c$,否则令 $a=c$,返回第二步。
重心法的收敛速度介于线性和二次之间。
(2)对于上述五种方法中的每一种,可以使用Steffensen加速来提高收敛速度。Steffensen加速是一种基于不动点迭代的加速方法,可以将线性收敛的迭代方法加速为超线性或二次收敛。具体步骤如下:
- 选取初始近似值 $x_0$;
- 计算 $y_k=f(x_k)$,$z_k=f(y_k)$;
- 计算 $x_{k+1}=x_k-\frac{(y_k-x_k)^2}{z_k-2y_k+x_k}$;
- 如果 $|x_{k+1}-x_k|<\epsilon$,其中 $\epsilon$ 是预设的精度,那么停止计算,输出 $x_{k+1}$,否则返回第二步。
使用Steffensen加速后,收敛速度会显著提高,但是每次迭代需要计算两次函数值,计算量较大。
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